A função de Bessel é dada pela série .
Prove que ela é solução da EDO

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função de Bessel de ordem zero, , que é definida por uma série infinita. O exercício quer que a gente prove que essa função satisfaz a equação diferencial ordinária (EDO):
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda de e substituir na EDO para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão da função de Bessel:
Essa é uma série de potências onde cada termo depende de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de . Para isso, derivamos termo a termo:

Passo 4

Simplificando a derivada primeira:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :

Passo 6

Simplificando a derivada segunda:

Passo 7

Agora, vamos substituir , e na EDO:
Substituindo as séries:

Passo 8

Simplificando cada termo:
Então, temos:

Passo 9

Vamos observar que as duas primeiras séries têm o mesmo fator comum , podemos combinar os termos:
Simplificando :

Passo 10

Simplificando os coeficientes:

Passo 11

Observando que a segunda série pode ser reindexada para :
As séries se cancelam mutuamente, resultando em zero.

Resposta

Portanto, mostramos que satisfaz a equação diferencial dada:

Exercícios relacionados

Usando a série de potências
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência
Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):
Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):
Usando a série de potências
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência