A função de Bessel é dada pela série
.
Prove que ela é solução da EDO
Prove que ela é solução da EDO
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função de Bessel de ordem zero,
, que é definida por uma série infinita. O exercício quer que a gente prove que essa função satisfaz a equação diferencial ordinária (EDO):
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda de
e substituir na EDO para ver se a igualdade se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão da função de Bessel:
Essa é uma série de potências onde cada termo depende de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
. Para isso, derivamos termo a termo:
Passo 4
Simplificando a derivada primeira:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Passo 6
Simplificando a derivada segunda:
Passo 7
Agora, vamos substituir
,
e
na EDO:
Substituindo as séries:
Passo 8
Simplificando cada termo:
Então, temos:
Passo 9
Vamos observar que as duas primeiras séries têm o mesmo fator comum
, podemos combinar os termos:
Simplificando
:
Passo 10
Simplificando os coeficientes:
Passo 11
Observando que a segunda série pode ser reindexada para
:
As séries se cancelam mutuamente, resultando em zero.
Resposta
Portanto, mostramos que
satisfaz a equação diferencial dada:
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