A função de Bessel é dada pela série J0(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n2^2 n(n!)^2.
Prove que ela é solução da EDO
x^2 y^prime prime+x y^prime+x^2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função de Bessel de ordem zero, x^2 y'' + x y' + x^2 y = 0 , que é definida por uma série infinita. O exercício quer que a gente prove que essa função satisfaz a equação diferencial ordinária (EDO):
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda de e substituir na EDO para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão da função de Bessel:
J0(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n2^2n (n!)^2
Essa é uma série de potências onde cada termo depende de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de J0'(x) = sumn=0^infty ddx ( (-1)^n x^2n2^2n (n!)^2 ) = sumn=0^infty (-1)^n cdot 2n cdot x^2n-12^2n (n!)^2 . Para isso, derivamos termo a termo:

Passo 4

Simplificando a derivada primeira:
J0'(x) = sumn=0^infty (-1)^n cdot 2n cdot x^2n-12^2n (n!)^2 = sumn=0^infty (-1)^n n cdot x^2n-12^2n-1 (n!)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de J0''(x) = ddx ( J0'(x) ) = sumn=0^infty ddx ( (-1)^n n cdot x^2n-12^2n-1 (n!)^2 ) = sumn=0^infty (-1)^n n cdot (2n-1) cdot x^2n-22^2n-1 (n!)^2 :

Passo 6

Simplificando a derivada segunda:
J0''(x) = sumn=0^infty (-1)^n n (2n - 1) x^2n - 22^2n -1 (n!)^2

Passo 7

Agora, vamos substituir x^2 J0''(x) + x J0'(x) + x^2 J0(x) = 0 , x^2 cdot sumn=0^infty (-1)^n n (2n - 1) x^2n - 22^2n -1 (n!)^2 + x cdot sumn=0^infty (-1)^n n x^2n-12^2n -1 (n!)^2 + x^2 cdot sumn=0^infty (-1)^n x^2n2^2n (n!)^2 = 0 e na EDO:
Substituindo as séries:

Passo 8

Simplificando cada termo:
  1. sumn=0^infty (-1)^n n (2n - 1) x^2n2^2n -1 (n!)^2 + sumn=0^infty (-1)^n n x^2n2^2n -1 (n!)^2 + sumn=0^infty (-1)^n x^2n + 22^2n (n!)^2 = 0
Então, temos:

Passo 9

Vamos observar que as duas primeiras séries têm o mesmo fator comum sumn=0^infty (-1)^n n (2n - 1 + 1) x^2n2^2n -1 (n!)^2 + sumn=0^infty (-1)^n x^2n + 22^2n (n!)^2 = 0 , podemos combinar os termos:
sumn=0^infty (-1)^n n cdot 2n x^2n2^2n -1 (n!)^2 + sumn=0^infty (-1)^n x^2n + 22^2n (n!)^2 = 0
Simplificando :

Passo 10

Simplificando os coeficientes:
sumn=0^infty (-1)^n 2n^2 x^2n2^2n -1 (n!)^2 + sumn=0^infty (-1)^n x^2n + 22^2n (n!)^2 = sumn=0^infty (-1)^n n^2 x^2n2^2n -2 (n!)^2 + sumn=0^infty (-1)^n x^2n + 22^2n (n!)^2

Passo 11

Observando que a segunda série pode ser reindexada para sumn=0^infty (-1)^n n^2 x^2n2^2n -2 (n!)^2 + summ=1^infty (-1)^m-1 x^2m2^2m -2 ((m-1)!)^2 = 0 :
As séries se cancelam mutuamente, resultando em zero.

Resposta

Portanto, mostramos que x^2 y'' + x y' + x^2 y = 0 satisfaz a equação diferencial dada:

Exercícios relacionados