Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio de convergência da série usando o teste da razão. O raio de convergência nos diz até que valor de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não. Para aplicá-lo, a gente calcula o limite:
Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; se for igual a 1, o teste não dá resposta.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
Então, será:

Passo 4

Vamos montar a razão :
Como estamos interessados no valor absoluto, o não afeta:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
À medida que cresce, o denominador aumenta muito mais rápido que o numerador , então o limite é 0:

Passo 6

Como o limite do teste da razão é 0, que é menor que 1, a série converge para qualquer valor de . Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito.

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