Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio de convergência da série usando o teste da razão. O raio de convergência nos diz até que valor de a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não. Para aplicá-lo, a gente calcula o limite:
Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; se for igual a 1, o teste não dá resposta.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral an = (-1)^n x^2n(2n)! da nossa série:
Vamos montar a razão an+1an = (-1)^n+1 x^2n + 2(2n + 2)! times (2n)!(-1)^n x^2n = (-1) times x^2 times 1(2n + 1)(2n + 2) :
| an+1an | = x^2(2n + 1)(2n + 2)
Como estamos interessados no valor absoluto, o não afeta:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty x^2(2n + 1)(2n + 2) tende ao infinito:
limn to infty x^2(2n + 1)(2n + 2) = 0
À medida que cresce, o denominador aumenta muito mais rápido que o numerador , então o limite é 0:
Passo 6
Como o limite do teste da razão é 0, que é menor que 1, a série converge para qualquer valor de . Isso significa que o raio de convergência é infinito.