Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):
sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio de convergência da série usando o teste da razão. O raio de convergência nos diz até que valor de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não. Para aplicá-lo, a gente calcula o limite:
limn to infty | an+1an |
Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; se for igual a 1, o teste não dá resposta.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral an = (-1)^n x^2n(2n)! da nossa série:
an+1 = (-1)^n+1 x^2(n+1)(2(n+1))! = (-1)^n+1 x^2n + 2(2n + 2)!
Então, será:

Passo 4

Vamos montar a razão an+1an = (-1)^n+1 x^2n + 2(2n + 2)! times (2n)!(-1)^n x^2n = (-1) times x^2 times 1(2n + 1)(2n + 2) :
| an+1an | = x^2(2n + 1)(2n + 2)
Como estamos interessados no valor absoluto, o não afeta:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty x^2(2n + 1)(2n + 2) tende ao infinito:
limn to infty x^2(2n + 1)(2n + 2) = 0
À medida que cresce, o denominador aumenta muito mais rápido que o numerador , então o limite é 0:

Passo 6

Como o limite do teste da razão é 0, que é menor que 1, a série converge para qualquer valor de . Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito.

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