Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
sumn=1^infty 2^n(x-3)^nn+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso envolve séries de potências, e vamos usar o Teste da Razão para descobrir até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência calculando o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 3

Vamos chamar o termo geral da série de L = limn to infty | an+1an | . Agora, a gente calcula:
L = limn to infty | 2^n+1(x-3)^n+1(n+4) cdot n+32^n(x-3)^n | = limn to infty | 2(x-3) cdot n+3n+4 |
Substituindo:

Passo 4

Simplificando o limite:
L = | 2(x-3) | cdot limn to infty n+3n+4 = | 2(x-3) | cdot 1 = | 2(x-3) |
Para a série convergir, precisamos que | 2(x-3) | < 1 :

Passo 5

Resolvendo essa desigualdade:
|x - 3| < 12
Isso significa que o raio de convergência é .

Passo 6

Agora, vamos achar o intervalo de convergência. Sabemos que 3 - 12 < x < 3 + 12 implies 2.5 < x < 3.5 , então:
Precisamos verificar se a série converge nos pontos e .

Passo 7

Para sumn=1^infty 2^n(2.5-3)^nn+3 = sumn=1^infty 2^n(-0.5)^nn+3 = sumn=1^infty (-1)^nn+3 :
sumn=1^infty 2^n(3.5-3)^nn+3 = sumn=1^infty 2^n(0.5)^nn+3 = sumn=1^infty 1n+3
Essa é uma série alternada onde tende a 0 e é decrescente, então por teste da série alternada, ela converge.
Para :
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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