Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso envolve séries de potências, e vamos usar o Teste da Razão para descobrir até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência calculando o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 3
Vamos chamar o termo geral da série de . Agora, a gente calcula:
Substituindo:
Passo 4
Simplificando o limite:
L = | 2(x-3) | cdot limn to infty n+3n+4 = | 2(x-3) | cdot 1 = | 2(x-3) |
Para a série convergir, precisamos que | 2(x-3) | < 1 :
Passo 5
Resolvendo essa desigualdade:
|x - 3| < 12
Isso significa que o raio de convergência é .
Passo 6
Agora, vamos achar o intervalo de convergência. Sabemos que 3 - 12 < x < 3 + 12 implies 2.5 < x < 3.5 , então:
Precisamos verificar se a série converge nos pontos e .
Passo 7
Para sumn=1^infty 2^n(2.5-3)^nn+3 = sumn=1^infty 2^n(-0.5)^nn+3 = sumn=1^infty (-1)^nn+3 :