Obtenha a série de Maclaurin para a série dada:
f(x) = e^(-x^2/2)

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin da função . Isso entra no conteúdo de séries de potências e, mais especificamente, séries de Maclaurin. Para resolver, vamos precisar conhecer a fórmula da série de Maclaurin para a função exponencial e adaptar para a nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É basicamente uma série de potências que expande uma função em torno de x = 0. A fórmula geral para a série de Maclaurin de uma função f(x) é:
Mas no nosso caso, vamos trabalhar com uma função exponencial, então podemos usar a série de Maclaurin do e^x, que é:

Passo 3

Agora, observe que nossa função é . Vamos fazer uma substituição para encaixar na série do exponencial. Seja . Então, podemos reescrever a função como:
Substituindo u de volta:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Podemos separar os termos:
Assim, a série de Maclaurin para fica:

Resposta

A série de Maclaurin para a função é:

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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
sumn=1^infty 2^n(x-3)^nn+3
(a) f(u, v, lambda, phi) = e^(u+v) cos(lambda) tg(phi). Determine f(-2, 2, 0, pi/4).
Descreva o domínio de f em palavras.
(a) f(x, y) = x * e^(-raiz(y + 2))
Escreva a integral indefinida como uma série infinita.
integral e^x^3 d x