Obtenha a série de Maclaurin para a série dada:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin da função
. Isso entra no conteúdo de séries de potências e, mais especificamente, séries de Maclaurin. Para resolver, vamos precisar conhecer a fórmula da série de Maclaurin para a função exponencial e adaptar para a nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É basicamente uma série de potências que expande uma função em torno de
. A fórmula geral para a série de Maclaurin de uma função
é:
Mas no nosso caso, vamos trabalhar com uma função exponencial, então podemos usar a série de Maclaurin do
, que é:
Passo 3
Agora, observe que nossa função é
. Vamos fazer uma substituição para encaixar na série do exponencial. Seja
. Então, podemos reescrever a função como:
Substituindo
de volta:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Podemos separar os termos:
Assim, a série de Maclaurin para
fica:
Resposta
A série de Maclaurin para a função
é:
Exercícios relacionados
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
(a)
. Determine
.
Descreva o domínio de
em palavras.
(a)
(a)
Escreva a integral indefinida como uma série infinita.