Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
sumn=1^infty n^2 cdot x^n10^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty n^2 cdot x^n10^n
Esse problema está relacionado ao estudo de séries de potências, que é uma parte da Análise de Sequências e Séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde pode variar para que a série converja.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. Ele indica o valor máximo de para que a série converja. Ou seja, se diagonalizarmos a série para diferentes valores de , o raio de convergência nos mostra o “limite” onde a série ainda dá certo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre o termo an = n^2 cdot x^n10^n e o termo L = limn to infty | an+1an | quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Então, vamos definir:
E calcular:

Passo 4

Vamos substituir an+1an = (n+1)^2 cdot x^n+110^n+1 cdot 10^nn^2 cdot x^n = (n+1)^2 cdot x10 cdot n^2 e an+1an = (n+1)^2n^2 cdot x10 na expressão:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty (n+1)^2n^2 cdot x10 tende ao infinito:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
Expandindo (n+1)^2n^2 = 1 + 2n + 1n^2 :
limn to infty (n+1)^2n^2 = 1
Então:
L = 1 cdot |x|10 = |x|10
Quando tende ao infinito, e tendem a zero, então:
Portanto:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que |x|10 < 1 implies |x| < 10 :
Isso significa que o raio de convergência é 10.

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que -10 < x < 10 , então o intervalo inicial é:
Mas precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série converge nesses pontos.

Passo 8

Para sumn=1^infty n^2 cdot 10^n10^n = sumn=1^infty n^2 :
A série se torna:
sumn=1^infty n^2 cdot (-10)^n10^n = sumn=1^infty n^2 cdot (-1)^n
Essa é uma série p com , mas sabemos que a série diverge, pois os termos não tendem a zero.
Para :
A série fica:
Essa é uma série alternada. No entanto, o termo geral não tende a zero quando tende ao infinito, então a série também diverge aqui.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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