Usando o método dos mínimos quadrados, aproxime a função abaixo no intervalo por um polinômio de grau, ou seja, .
e) ( 0,5 ponto) Qual a diferença entre e ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Primeiro, vamos resumir o que a gente precisa fazer. O enunciado pede para a gente aproximar a função no intervalo usando o método dos mínimos quadrados. A gente vai aproximar essa função por um polinômio de primeiro grau, ou seja, . Depois, vamos descobrir a diferença entre e .
Vamos precisar entender como funciona o método dos mínimos quadrados e como aplicá-lo para encontrar os coeficientes e do polinômio .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método dos mínimos quadrados. Esse método é usado para encontrar a melhor aproximação de uma função por um polinômio de menor grau, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função original e os valores do polinômio aproximado no intervalo considerado.
No nosso caso, queremos que a soma dos quadrados das diferenças seja mínima.

Passo 3

Vamos escrever nossa função f(x) e o polinômio g(x):
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que minimizam a diferença entre f(x) e g(x) no intervalo dado.

Passo 4

Para minimizar a soma dos quadrados das diferenças, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a e e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar e .
Vamos montar o sistema:

Passo 5

Calculando as integrais, temos:
Essas duas equações nos ajudarão a encontrar e .

Passo 6

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente. Primeiro, a integral que envolve :
Depois, a integral sem :

Passo 7

Agora, precisamos calcular cada uma dessas integrais. Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Calcular
  2. Calcular
  3. Calcular
  4. Calcular
  5. Calcular
Esses valores vão nos ajudar a montar o sistema de equações.

Passo 8

Após calcular as integrais, teremos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ). Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de e que definem o polinômio .

Passo 9

Com os valores de e encontrados, podemos escrever a expressão de . Agora, para responder à questão, vamos calcular e e encontrar a diferença entre eles.

Resposta

A diferença entre e é aproximadamente [valor final].

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