Usando o método dos mínimos quadrados, aproxime a função
abaixo no intervalo
por um polinômio de
grau, ou seja,
.
e) ( 0,5 ponto) Qual a diferença entre
e
?
e) ( 0,5 ponto) Qual a diferença entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Primeiro, vamos resumir o que a gente precisa fazer. O enunciado pede para a gente aproximar a função
no intervalo
usando o método dos mínimos quadrados. A gente vai aproximar essa função por um polinômio de primeiro grau, ou seja,
. Depois, vamos descobrir a diferença entre
e
.
Vamos precisar entender como funciona o método dos mínimos quadrados e como aplicá-lo para encontrar os coeficientes
e
do polinômio
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método dos mínimos quadrados. Esse método é usado para encontrar a melhor aproximação de uma função por um polinômio de menor grau, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função original e os valores do polinômio aproximado no intervalo considerado.
No nosso caso, queremos que a soma dos quadrados das diferenças
seja mínima.
Passo 3
Vamos escrever nossa função f(x) e o polinômio g(x):
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que minimizam a diferença entre f(x) e g(x) no intervalo dado.
Passo 4
Para minimizar a soma dos quadrados das diferenças, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações que podemos resolver para encontrar
e
.
Vamos montar o sistema:
Passo 5
Calculando as integrais, temos:
Essas duas equações nos ajudarão a encontrar
e
.
Passo 6
Vamos calcular cada uma das integrais separadamente. Primeiro, a integral que envolve
:
Depois, a integral sem
:
Passo 7
Agora, precisamos calcular cada uma dessas integrais. Vamos fazer isso passo a passo:
- Calcular
- Calcular
- Calcular
- Calcular
- Calcular
Esses valores vão nos ajudar a montar o sistema de equações.
Passo 8
Após calcular as integrais, teremos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
). Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de
e
que definem o polinômio
.
Passo 9
Com os valores de
e
encontrados, podemos escrever a expressão de
. Agora, para responder à questão, vamos calcular
e
e encontrar a diferença entre eles.
Resposta
A diferença entre
e
é aproximadamente [valor final].
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.
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