Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar conhecimentos de séries geométricas para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma que fique parecida com a fórmula da série geométrica. A série geométrica tem a forma , onde . Então, vamos manipular para se encaixar nisso.
Começamos dividindo o numerador e o denominador por 4:
Agora, temos , que se parece com a série geométrica .

Passo 3

Sabendo disso, podemos expandir a fração como uma série geométrica:
Aqui, nosso é . Então, substituindo na série geométrica, temos:
Multiplicando pela que tiramos antes:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o raio de convergência dessa série. Para uma série geométrica , a convergência ocorre quando .
No nosso caso, . Então, precisamos que:
Isso significa que a série converge para .

Resposta

A representação em série de potências para é:
O raio de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
Usando o método dos mínimos quadrados, aproxime a função abaixo no intervalo por um polinômio de grau, ou seja, .
e) ( 0,5 ponto) Qual a diferença entre e ?
onde é a distância entre a carga em e um ponto qualquer do espaço (exceto em ). A força elétrica repulsiva que uma segunda carga positiva de valor colocada em sente é proporcional à taxa de variação do potencial em relação ao ponto , i.e.,
b) Se o potencial fosse dado por (potencial de Yukawa), calcule a força que a carga exerceria sobre em função de .
Suponha que a concentração mento na corrente sanguínea de um paciente seja modelada pela função , em que é a dosagem do medicamento em mg e é o número de horas desde o início da medicação.
Se a dosagem for de 100 mg , dê uma fórmula para a concentração como uma função do tempo.