Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
f(x) = 1/(4+x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar conhecimentos de séries geométricas para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma que fique parecida com a fórmula da série geométrica. A série geométrica tem a forma , onde . Então, vamos manipular para se encaixar nisso.
Começamos dividindo o numerador e o denominador por 4:
Agora, temos , que se parece com a série geométrica .

Passo 3

Sabendo disso, podemos expandir a fração como uma série geométrica:
Aqui, nosso é . Então, substituindo na série geométrica, temos:
Multiplicando pela que tiramos antes:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o raio de convergência dessa série. Para uma série geométrica , a convergência ocorre quando .
No nosso caso, . Então, precisamos que:
Isso significa que a série converge para .

Resposta

A representação em série de potências para é:
O raio de convergência dessa série é .

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