Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar conhecimentos de séries geométricas para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de forma que fique parecida com a fórmula da série geométrica. A série geométrica tem a forma , onde . Então, vamos manipular para se encaixar nisso.
Começamos dividindo o numerador e o denominador por 4:
Agora, temos , que se parece com a série geométrica .
Passo 3
Sabendo disso, podemos expandir a fração como uma série geométrica:
Aqui, nosso é . Então, substituindo na série geométrica, temos:
Multiplicando pela que tiramos antes:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos falar sobre o raio de convergência dessa série. Para uma série geométrica , a convergência ocorre quando .