onde
é a distância entre a carga
em
e um ponto qualquer do espaço
(exceto em
). A força elétrica repulsiva que uma segunda carga positiva de valor
colocada em
sente é proporcional à taxa de variação do potencial em relação ao ponto
, i.e.,
b) Se o potencial fosse dado por
(potencial de Yukawa), calcule a força que a carga
exerceria sobre
em função de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um potencial elétrico dado por
Esse é conhecido como potencial de Yukawa. A questão quer que a gente calcule a força que uma carga
exerce sobre uma segunda carga
em função da distância
. Para isso, vamos precisar usar a relação que liga a força elétrica à derivada do potencial.
Passo 2
Sabemos que a força elétrica
pode ser encontrada usando a fórmula
Isso significa que precisamos calcular a derivada do potencial
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Primeiro, escrevemos o potencial:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra do quociente e a regra da cadeia para a parte exponencial.
Passo 4
Calculando a derivada:
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 5
Aplicando a derivada:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos
na fórmula da força:
Os sinais negativos se cancelam, então:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão, agrupando os termos:
Resposta
A força que a carga
exerce sobre a carga
em função de
é