Utilize o teste da série alternada para decidir a convergência ou divergência da serie dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma série alternada:
O objetivo é usar o Teste da Série Alternada para decidir se essa série converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como esse teste funciona e verificar se a nossa série atende aos critérios para convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série alternada. É uma série onde os sinais dos termos mudam de positivo para negativo ou vice-versa a cada termo. No nosso caso, os sinais realmente alternam: negativo, positivo, negativo, e assim por diante.
Passo 3
Agora, o Teste da Série Alternada nos diz que uma série alternada da forma:
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos, ou seja, para todo . - A sequência
é decrescente e tende a zero quando vai para o infinito.
Passo 4
Vamos identificar os termos da nossa série. Observando:
Podemos ver que cada termo pode ser escrito como:
Assim, o termo geral
é:
Passo 5
Vamos verificar a primeira condição do teste: os termos
são positivos?
Sim, para todo
,
é positivo, pois numerador e denominador são positivos.
Passo 6
Agora, a segunda condição: a sequência
é decrescente e tende a zero?
Primeiro, vamos ver o limite de
quando
tende ao infinito:
Então, o limite não é zero, é 1.
Passo 7
Como o limite de
não é zero, a série não satisfaz a segunda condição do Teste da Série Alternada. Isso significa que o teste não garante a convergência da série.
Passo 8
Além disso, vamos verificar se a série converge de outra forma. Vamos analisar o limite do termo geral:
Esse limite não existe porque oscila entre 1 e -1. Como o limite do termo geral não é zero, a série diverge.
Resposta
A série dada diverge.