Utilize o teste da série alternada para decidir a convergência ou divergência da serie dada.
-1/3 + 2/4 - 3/5 + 4/6 - 5/7 + ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma série alternada:
O objetivo é usar o Teste da Série Alternada para decidir se essa série converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como esse teste funciona e verificar se a nossa série atende aos critérios para convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série alternada. É uma série onde os sinais dos termos mudam de positivo para negativo ou vice-versa a cada termo. No nosso caso, os sinais realmente alternam: negativo, positivo, negativo, e assim por diante.

Passo 3

Agora, o Teste da Série Alternada nos diz que uma série alternada da forma:
converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são positivos, ou seja, para todo .
  2. A sequência é decrescente e tende a zero quando vai para o infinito.

Passo 4

Vamos identificar os termos da nossa série. Observando:
Podemos ver que cada termo pode ser escrito como:
Assim, o termo geral é:

Passo 5

Vamos verificar a primeira condição do teste: os termos são positivos?
Sim, para todo , é positivo, pois numerador e denominador são positivos.

Passo 6

Agora, a segunda condição: a sequência é decrescente e tende a zero?
Primeiro, vamos ver o limite de quando tende ao infinito:
Então, o limite não é zero, é 1.

Passo 7

Como o limite de não é zero, a série não satisfaz a segunda condição do Teste da Série Alternada. Isso significa que o teste não garante a convergência da série.

Passo 8

Além disso, vamos verificar se a série converge de outra forma. Vamos analisar o limite do termo geral:
Esse limite não existe porque oscila entre 1 e -1. Como o limite do termo geral não é zero, a série diverge.

Resposta

A série dada diverge.

Exercícios relacionados