Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sum n!(2 x+3)^n

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sum n!(2x + 3)^n. Isso está relacionado ao estudo de séries de potências na matéria de Cálculo, especificamente analisando para quais valores de x a série converge. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries envolvendo fatorias.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é an = n!(2x + 3)^n. O Teste da Razão envolve calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |

Passo 3

Substituindo os termos na expressão do limite:
an+1an = (n+1)!(2x + 3)^n+1n!(2x + 3)^n = (n+1)(2x + 3)
Portanto,
L = limn to infty |(n+1)(2x + 3)|

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite L. Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que L < 1. Porém,
L = limn to infty |(n+1)(2x + 3)| = infty
Isso porque, independente do valor de (2x + 3), o termo (n+1) cresce sem limites.

Passo 5

Como o limite L sempre tende ao infinito, que é maior que 1, a série sum n!(2x + 3)^n nunca converge, exceto possivelmente em casos triviais.

Resposta

O raio de convergência é 0, e o intervalo de convergência consiste apenas no ponto x = -32.

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