Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências na matéria de Cálculo, especificamente analisando para quais valores de a série converge. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries envolvendo fatorias.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . O Teste da Razão envolve calcular o limite:

Passo 3

Substituindo os termos na expressão do limite:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite . Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que . Porém,
Isso porque, independente do valor de , o termo cresce sem limites.

Passo 5

Como o limite sempre tende ao infinito, que é maior que 1, a série nunca converge, exceto possivelmente em casos triviais.

Resposta

O raio de convergência é , e o intervalo de convergência consiste apenas no ponto .

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