Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências na matéria de Cálculo, especificamente analisando para quais valores de a série converge. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries envolvendo fatorias.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . O Teste da Razão envolve calcular o limite:
Passo 3
Substituindo os termos na expressão do limite:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite . Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que . Porém,
Isso porque, independente do valor de , o termo cresce sem limites.
Passo 5
Como o limite sempre tende ao infinito, que é maior que 1, a série nunca converge, exceto possivelmente em casos triviais.
Resposta
O raio de convergência é , e o intervalo de convergência consiste apenas no ponto .