Mostre que se
e
são conjuntos, então
.
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos,
e
, e precisamos mostrar que
. A matéria envolvida aqui é a de diferença simétrica entre conjuntos, e vamos precisar entender como essa operação funciona para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a diferença simétrica. Para dois conjuntos
e
, a diferença simétrica
é o conjunto dos elementos que estão em
ou em
, mas não em ambos. Em outras palavras:
Isso significa que pegamos todos os elementos que estão em
ou em
e removemos aqueles que estão nos dois conjuntos ao mesmo tempo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à expressão
. Primeiro, substituímos
pela sua definição:
Isso significa que estamos fazendo a diferença simétrica entre
e
.
Passo 4
Vamos aplicar novamente a definição de diferença simétrica na expressão:
Vamos simplificar cada parte dessa expressão. Primeiro, a união:
Porque estamos unindo
menos uma parte com
, o que resulta apenas em
.
Agora, a interseção:
Isso porque estamos pegando os elementos que estão em
mas não em
.
Passo 5
Substituindo as simplificações na expressão original:
Agora, sabemos que
são os elementos que estão apenas em
. Remover esses elementos de
deixa apenas os elementos que estão em
:
Resposta
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Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de
.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Suponha que
e
sejam conjuntos, tal que
. É o caso de
?
Considere
para
. Encontre
.