Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função
centrada em
. Ou seja, queremos expressar
como uma soma infinita de termos polinomiais em torno de
. Para isso, vamos usar o conceito de séries de Taylor, que envolve calcular derivadas da função no ponto
e montar a série com base nessas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como é a fórmula da série de Taylor para uma função
centrada em
:
Aqui,
representa a n-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
. Nosso objetivo é calcular essas derivadas e montar a série.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
Primeira, a função original:
Primeira derivada:
Avaliada em
:
Segunda derivada:
Avaliada em
:
Podemos notar um padrão nas derivadas, mas para simplificar, vamos considerar que a série terá termos alternados com coeficientes baseados nas derivadas calculadas.
Passo 4
Agora, vamos montar a série de Taylor usando as derivadas que calculamos:
Calculando
:
Então, substituindo os valores:
Simplificando:
Podemos continuar esse processo para obter mais termos, mas já temos a estrutura básica da série de Taylor centrada em
.
Resposta
A série de Taylor da função
centrada em
é:
Ou seja, cada termo da série é dado por:
Com as derivadas calculadas nos passos anteriores.