Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de f(x). f(x) = x * e^(-2 * x), a = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função centrada em . Ou seja, queremos expressar como uma soma infinita de termos polinomiais em torno de . Para isso, vamos usar o conceito de séries de Taylor, que envolve calcular derivadas da função no ponto e montar a série com base nessas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como é a fórmula da série de Taylor para uma função centrada em :
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de . Nosso objetivo é calcular essas derivadas e montar a série.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
Primeira, a função original:
Primeira derivada:
Avaliada em :
Segunda derivada:
Avaliada em :
Podemos notar um padrão nas derivadas, mas para simplificar, vamos considerar que a série terá termos alternados com coeficientes baseados nas derivadas calculadas.

Passo 4

Agora, vamos montar a série de Taylor usando as derivadas que calculamos:
Calculando :
Então, substituindo os valores:
Simplificando:
Podemos continuar esse processo para obter mais termos, mas já temos a estrutura básica da série de Taylor centrada em .

Resposta

A série de Taylor da função centrada em é:
Ou seja, cada termo da série é dado por:
Com as derivadas calculadas nos passos anteriores.

Exercícios relacionados