Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de
.
,
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin ou Taylor da função
centrada em
. Vamos precisar usar as séries de Maclaurin para a função seno e entender como lidar com o termo
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a série de Maclaurin para
. A série de Maclaurin para
é conhecida e é dada por:
Como temos
, substituímos
por
:
Passo 3
Agora, vamos considerar o termo
. A série de Maclaurin é uma expansão em potências inteiras de
, ou seja, termos como
onde
é um inteiro não negativo. Porém,
possui um expoente fracionário.
Isso significa que
não possui uma série de Maclaurin tradicional, já que requer termos de potências fracionárias, que não são permitidos na série de Maclaurin.
Passo 4
Portanto, a função
não é analítica em
devido ao termo
. Isso implica que não é possível encontrar uma série de Maclaurin que represente toda a função
em torno de
.
Resposta
Não é possível encontrar uma série de Maclaurin para
centrada em
devido ao termo
, que não permite uma expansão em séries de potências inteiras.
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Mostre que se
e
são conjuntos, então
.
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.