Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de . ,

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin ou Taylor da função centrada em . Vamos precisar usar as séries de Maclaurin para a função seno e entender como lidar com o termo .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a série de Maclaurin para . A série de Maclaurin para é conhecida e é dada por:
Como temos , substituímos por :

Passo 3

Agora, vamos considerar o termo . A série de Maclaurin é uma expansão em potências inteiras de , ou seja, termos como onde é um inteiro não negativo. Porém, possui um expoente fracionário.
Isso significa que não possui uma série de Maclaurin tradicional, já que requer termos de potências fracionárias, que não são permitidos na série de Maclaurin.

Passo 4

Portanto, a função não é analítica em devido ao termo . Isso implica que não é possível encontrar uma série de Maclaurin que represente toda a função em torno de .

Resposta

Não é possível encontrar uma série de Maclaurin para centrada em devido ao termo , que não permite uma expansão em séries de potências inteiras.

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Mostre que se e são conjuntos, então .
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.