(3) (3)Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin da função
. A série de Maclaurin é uma forma de representar funções como somas infinitas de potências de
em torno de
. Para isso, vamos precisar usar o desenvolvimento em série de Taylor e algumas propriedades de séries conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação da série de Taylor. Sabemos que
, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, precisamos expandir
em uma série de potências. Lembrando que a fórmula do binômio de Newton para exponentes reais é:
onde
. Neste caso,
e
.
Passo 4
Calculando os primeiros termos da série, temos:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora, multiplicamos cada termo da série por
para obter a série de
:
Distribuindo
:
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
Exercícios relacionados
Calcular as integrais :
(1) (2)Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
(a)
(a)
-Encontre os pontos críticos nas funções abaixo:
q)
q)
(3) (3)Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de
.