(3) (3)Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de f(x).
f(x) = x^2 / raiz(1 + x^2), a = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin da função . A série de Maclaurin é uma forma de representar funções como somas infinitas de potências de em torno de . Para isso, vamos precisar usar o desenvolvimento em série de Taylor e algumas propriedades de séries conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação da série de Taylor. Sabemos que , então podemos escrever:

Passo 3

Agora, precisamos expandir em uma série de potências. Lembrando que a fórmula do binômio de Newton para exponentes reais é:
onde . Neste caso, e .

Passo 4

Calculando os primeiros termos da série, temos:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, multiplicamos cada termo da série por para obter a série de :
Distribuindo :

Resposta

A série de Maclaurin de é:

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