Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=0^+infty(34)^n(x+5)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série:
sumn=0^+infty(34)^n(x+5)^n
Vamos usar conceitos de séries de potências, especificamente o raio de convergência, que nos ajuda a saber para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que fique mais fácil de aplicar o teste do limite para encontrar o raio de convergência. A série dada é:
sumn=0^+infty(34)^n(x+5)^n
Podemos combinar os termos:
sumn=0^+infty(34(x+5))^n
Isso nos mostra que a série é uma série geométrica com razão .

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão |r| < 1 for menor que 1, ou seja:
|34(x+5)| < 1
Aplicando isso à nossa série:

Passo 4

Vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de |34(x+5)| < 1 que satisfazem a condição de convergência:
|x + 5| < 43
Primeiro, dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, a inequação - 43 < x + 5 < 43 significa que está a menos de unidades de distância de 0. Isso se traduz em:

Passo 6

Vamos isolar - 43 - 5 < x < 43 - 5 subtraindo 5 de todas as partes da inequação:
- 193 < x < - 113
Simplificando:

Passo 7

O raio de convergência R = 43 é a distância entre o centro da série e os pontos de convergência. No nosso caso, o centro é e a largura da interval é , então:

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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