Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série:
Vamos usar conceitos de séries de potências, especificamente o raio de convergência, que nos ajuda a saber para quais valores de a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que fique mais fácil de aplicar o teste do limite para encontrar o raio de convergência. A série dada é:
Podemos combinar os termos:
Isso nos mostra que a série é uma série geométrica com razão .
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja:
Aplicando isso à nossa série:
Passo 4
Vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de |34(x+5)| < 1 que satisfazem a condição de convergência:
|x + 5| < 43
Primeiro, dividimos ambos os lados por :
Passo 5
Agora, a inequação - 43 < x + 5 < 43 significa que está a menos de unidades de distância de 0. Isso se traduz em:
Passo 6
Vamos isolar - 43 - 5 < x < 43 - 5 subtraindo 5 de todas as partes da inequação:
- 193 < x < - 113
Simplificando:
Passo 7
O raio de convergênciaR = 43 é a distância entre o centro da série e os pontos de convergência. No nosso caso, o centro é e a largura da interval é , então:
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .