Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=0^+infty(-1)^n n x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=0^+infty(-1)^n n x^n. Isso cai no conteúdo de Séries de Potências dentro do Cálculo. Para resolver, a gente vai precisar aplicar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 3

Vamos considerar os termos gerais da série: an = (-1)^n n x^n. Agora, calculamos a razão entre o termo seguinte e o termo atual:
| an+1an | = | (-1)^n+1 (n+1) x^n+1(-1)^n n x^n |

Passo 4

Simplificando a expressão:
| an+1an | = | (-1)^n+1(-1)^n cdot n+1n cdot x | = | -1 cdot (1 + 1n) x | = | (1 + 1n) x |

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | (1 + 1n) x | = |x|

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, a série converge se L < 1, ou seja:
|x| < 1
Isso significa que o raio de convergência R é 1.

Passo 7

Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência verificando os pontos nas extremidades do intervalo, ou seja, x = 1 e x = -1.
  • Para x = 1:
A série se torna sumn=0^+infty (-1)^n n (1)^n = sumn=0^+infty (-1)^n n. Essa série não converge porque os termos não tendem a zero.
  • Para x = -1:
A série vira sumn=0^+infty (-1)^n n (-1)^n = sumn=0^+infty n. Essa é uma série divergente, já que soma termos que crescem sem limite.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é -1 < x < 1.

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