Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=0^+infty (-3)^nn raizn x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^+infty (-3)^nn raizn x^n
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e teste da raiz para determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é
an = (-3)^nn raizn
Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência , que nos indica para quais valores de a série converge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta eficiente para encontrar o raio de convergência. Esse teste utiliza o limite:
limsupn to infty |an|^1/n
Calculando:
|an|^1/n = |(-3)^nn raizn|^1/n = 3(n raizn)^1/n
Sabemos que limn to infty 3(n raizn)^1/n = 3 tende a 1 quando R = 1limsup |an|^1/n = 13 cresce, então:
Assim, o raio de convergência é:

Passo 4

Agora que temos sumn=0^+infty (-3)^nn raizn (13)^n = sumn=0^+infty (-1)^nn raizn , o intervalo de convergência está centrado em 0 e vai de sumn=0^+infty (-3)^nn raizn (-13)^n = sumn=0^+infty 1n raizn até . Precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série converge nesses valores.
  • Para :
Essa é uma série alternada. Além disso, o termo geral tende a zero e é decrescente, o que garante a convergência pela Teste da Série Alternada.
  • Para :
Essa é uma série do tipo , que é uma p-série com , portanto, converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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