(valor 2 pontos)
Use o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) para calcular o fluxo do campo através da superfície ,
ou seja, calcule , sendo o campo vetorial e a superfície do tetraedro
com vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Teorema da Divergência, também conhecido como Teorema de Gauss, para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a superfície de um tetraedro com vértices em , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema da Divergência e como aplicá-lo a esse tipo de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo integrado sobre o volume limitado pela superfície. Em outras palavras:
Então, para calcular o fluxo pela superfície , podemos calcular a divergência de e integrar essa divergência sobre o volume do tetraedro.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Agora, vamos integrar a divergência sobre o volume do tetraedro. Precisamos determinar os limites de integração para , e dentro do tetraedro com vértices em , , e .
Observando o tetraedro, podemos definir os limites de integração da seguinte forma:
Então, configuramos a integral tripla:
Vamos resolver a integral em ordem de , , .
Primeiro, integrando em relação a :
Agora, a integral fica:
Vamos expandir :
Agora, a integral se torna:
Vamos integrar termo a termo em relação a :
integral0^1 - x (-3x) , dy = -3x y |0^1 - x = -3x(1 - x)
integral0^1 - x (-y) , dy = -12 y^2 |0^1 - x = -12(1 - x)^2
integral0^1 - x (-2xy) , dy = -2x cdot 12 y^2 |0^1 - x = -x(1 - x)^2
integral0^1 - x (-2y^2) , dy = -2 cdot 13 y^3 |0^1 - x = -23(1 - x)^3
Agora, simplificamos essa expressão e integramos em relação a x de 0 a 1. Para facilitar, podemos fazer uma substituição u = 1 - x, onde quando x = 0, u = 1 e quando x = 1, u = 0. A integral fica: