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Use o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) para calcular o fluxo do campo F através da superfície S,
ou seja, calcule integral duplaS F cdot d S, sendo o campo vetorial F=3 x i+y^2 j-x^2 y^4 k e S a superfície do tetraedro
com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Teorema da Divergência, também conhecido como Teorema de Gauss, para calcular o fluxo do campo vetorial F = 3x,i + y^2,j - x^2 y^4,k através da superfície S, que é a superfície de um tetraedro com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema da Divergência e como aplicá-lo a esse tipo de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo integrado sobre o volume limitado pela superfície. Em outras palavras:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F, dV
Então, para calcular o fluxo pela superfície S, podemos calcular a divergência de F e integrar essa divergência sobre o volume V do tetraedro.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = P,i + Q,j + R,k é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Aplicando isso ao nosso campo:
P = 3x, Q = y^2, R = -x^2 y^4
Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial x = 3
partial Qpartial y = 2y
partial Rpartial z = 0 (porque R não depende de z) ã
Então,
nabla cdot F = 3 + 2y

Passo 4

Agora, vamos integrar a divergência sobre o volume do tetraedro. Precisamos determinar os limites de integração para x, y e z dentro do tetraedro com vértices em (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
Observando o tetraedro, podemos definir os limites de integração da seguinte forma:
0 <= x <= 1
0 <= y <= 1 - x
0 <= z <= 1 - x - y
Então, configuramos a integral tripla:
integral triplaV (3 + 2y) , dV = integral0^1 integral0^1 - x integral0^1 - x - y (3 + 2y) , dz , dy , dx
Vamos resolver a integral em ordem de z, y, x.
Primeiro, integrando em relação a z:
integral0^1 - x - y (3 + 2y) , dz = (3 + 2y)(1 - x - y) - (3 + 2y)(0) = (3 + 2y)(1 - x - y)
Agora, a integral fica:
integral0^1 integral0^1 - x (3 + 2y)(1 - x - y) , dy , dx
Vamos expandir (3 + 2y)(1 - x - y):
3(1 - x - y) + 2y(1 - x - y) = 3 - 3x - 3y + 2y - 2xy - 2y^2
= 3 - 3x - y - 2xy - 2y^2
Agora, a integral se torna:
integral0^1 [ integral0^1 - x (3 - 3x - y - 2xy - 2y^2) , dy ] dx
Vamos integrar termo a termo em relação a y:
integral0^1 - x 3 , dy = 3y |0^1 - x = 3(1 - x)
integral0^1 - x (-3x) , dy = -3x y |0^1 - x = -3x(1 - x)
integral0^1 - x (-y) , dy = -12 y^2 |0^1 - x = -12(1 - x)^2
integral0^1 - x (-2xy) , dy = -2x cdot 12 y^2 |0^1 - x = -x(1 - x)^2
integral0^1 - x (-2y^2) , dy = -2 cdot 13 y^3 |0^1 - x = -23(1 - x)^3
Somando todos os resultados:
3(1 - x) - 3x(1 - x) - 12(1 - x)^2 - x(1 - x)^2 - 23(1 - x)^3
Agora, simplificamos essa expressão e integramos em relação a x de 0 a 1. Para facilitar, podemos fazer uma substituição u = 1 - x, onde quando x = 0, u = 1 e quando x = 1, u = 0. A integral fica:
integral1^0 [ 3u - 3(1 - u)u - 12u^2 - (1 - u)u^2 - 23u^3 ] (-du)
= integral0^1 [ 3u - 3u + 3u^2 - 12u^2 - u^2 + u^3 - 23u^3 ] du
= integral0^1 [ (3u - 3u) + (3u^2 - 12u^2 - u^2) + (u^3 - 23u^3) ] du
= integral0^1 [ 0 + (3 - 12 -1)u^2 + (1 - 23)u^3 ] du
= integral0^1 [ 32u^2 + 13u^3 ] du
Integrando:
32 cdot 13u^3 + 13 cdot 14u^4 |0^1 = 12u^3 + 112u^4 |0^1 = 12 + 112 = 712

Resposta

O fluxo do campo F através da superfície S é dfrac712.

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