Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso envolve entender séries de potências e usar alguns testes de convergência. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. O raio de convergência é um valor tal que para , a série converge, e para , a série diverge. Para encontrar , usamos geralmente o Teste da Razão ou o Teste da Raiz.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos que envolvem potências de . O teste diz que:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para . Precisamos verificar os pontos onde , ou seja, e .
Passo 8
Para sumn=1^infty (-1)^n^-1 (1)^nn^3 = sumn=1^infty (-1)^1/nn^3 :
O termo tende a 1 quando , então a série se comporta como , que é uma série p com , portanto converge.
Passo 9
Para sumn=1^infty (-1)^n^-1 (-1)^nn^3 = sumn=1^infty (-1)^n + 1/nn^3 :
Assim como antes, tende a 1, então a série se comporta como , que é uma série alternada com termos decrescentes e convergentes a zero, portanto converge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .