Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty (-1)^n^-1 x^nn^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso envolve entender séries de potências e usar alguns testes de convergência. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. O raio de convergência é um valor tal que para , a série converge, e para , a série diverge. Para encontrar , usamos geralmente o Teste da Razão ou o Teste da Raiz.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos que envolvem potências de L = limn to infty | an+1an | . O teste diz que:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Identificamos o termo geral da série:
an = (-1)^n^-1 x^nn^3
Vamos calcular an+1an = (-1)^(n+1)^-1 x^n+1 / (n+1)^3(-1)^n^-1 x^n / n^3 = (-1)^(n+1)^-1 - n^-1 cdot x cdot ( nn+1 )^3 :

Passo 5

Vamos calcular o limite L = limn to infty | (-1)^(n+1)^-1 - n^-1 cdot x cdot ( nn+1 )^3 | :
( nn+1 )^3 = ( 1 - 1n+1 )^3 to 1 quando n to infty
Primeiro, note que L = limn to infty |x| cdot 1 = |x| oscila, mas seu módulo é 1. Além disso,
Então,

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão:
|x| < 1 Rightarrow L = |x| < 1 Rightarrow Conver>=
|x| > 1 Rightarrow L = |x| > 1 Rightarrow Diver>=
Portanto, o raio de convergência é 1.

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para . Precisamos verificar os pontos onde , ou seja, e .

Passo 8

Para sumn=1^infty (-1)^n^-1 (1)^nn^3 = sumn=1^infty (-1)^1/nn^3 :
O termo tende a 1 quando , então a série se comporta como , que é uma série p com , portanto converge.

Passo 9

Para sumn=1^infty (-1)^n^-1 (-1)^nn^3 = sumn=1^infty (-1)^n + 1/nn^3 :
Assim como antes, tende a 1, então a série se comporta como , que é uma série alternada com termos decrescentes e convergentes a zero, portanto converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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