Resolva o problema de valor inicial: y^(4) - y = delta(t), y(0) = y'(0) = y''(0) = y^(3)(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com uma condição inicial. A equação que temos é do quarto grau e inclui a função delta de Dirac, que é como um “impulso” instantâneo. A matéria que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais e funções como a delta. Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace nessa equação e depois fazer a inversa para achar a solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de é , onde é a transformada de . No nosso caso, como todas as condições iniciais são zero, isso simplifica bastante.
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Então temos:
Como todas as condições iniciais são zero ( ), a equaç��o fica:

Passo 3

Agora, vamos isolar na equação:
Então:
Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos fatorar o denominador .

Passo 4

Fatorando :
Então, temos:
Agora, vamos decompôr essa fração em frações parciais para facilitar a inversão.

Passo 5

Vamos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar os coeficientes , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  1. :
  1. :
  1. Para (onde ):
Então, nossa decomposição fica:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa termo a termo:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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y^2 * y' = x
i) encontre o vetor gradiente genérico; ii) calcule o gradiente no ponto P; iii) calcule a taxa de variação de f em P na direção de u. (Repare nas formas diferentes de se apresentar o vetor u.)
f(x, y) = e^x cos(y) ; P = (0, 0) ; u é o vetor na direção de theta = pi / 4.
Para f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 4 x z, determine a direção em que a taxa de variação no ponto P = (3, 1, -2) seja máxima e calcule esta taxa.