Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com uma condição inicial. A equação que temos é do quarto grau e inclui a função delta de Dirac, que é como um “impulso” instantâneo. A matéria que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais e funções como a delta. Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace nessa equação e depois fazer a inversa para achar a solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de
é
, onde
é a transformada de
. No nosso caso, como todas as condições iniciais são zero, isso simplifica bastante.
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Então temos:
Como todas as condições iniciais são zero (
), a equa�o fica:
Passo 3
Agora, vamos isolar
na equação:
Então:
Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos fatorar o denominador
.
Passo 4
Fatorando
:
Então, temos:
Agora, vamos decompôr essa fração em frações parciais para facilitar a inversão.
Passo 5
Vamos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar os coeficientes
, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
-
:
-
:
- Para
(onde ):
Então, nossa decomposição fica:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa termo a termo:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Resolvas as seguintes equações por separação de variáveis:
i) encontre o vetor gradiente genérico; ii) calcule o gradiente no ponto
; iii) calcule a taxa de variação de
em
na direção de u. (Repare nas formas diferentes de se apresentar o vetor
.)
é o vetor na direção de
.
Para
, determine a direção em que a taxa de variação no ponto
seja máxima e calcule esta taxa.