Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Se o perímetro da janela é de 250 cm , determine as dimensões da janela que permitem entrar a maior quantidade de luz.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma janela que é formada por um retângulo com um semicírculo em cima. O perímetro total dessa janela é de 250 cm. Nosso objetivo é encontrar as dimensões (largura e altura) dessa janela que permitam que entre a maior quantidade de luz possível, ou seja, que a área da janela seja maximizada. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria e cálculo de máximos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da janela. Temos um retângulo e um semicírculo. Vamos chamar a largura do retângulo de
(onde
é o raio do semicírculo) e a altura do retângulo de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o perímetro total da janela. O perímetro do retângulo é
. Mas como o topo é um semicírculo, precisamos subtrair a largura do retângulo e adicionar o perímetro do semicírculo, que é
. Portanto, o perímetro total fica:
Sabemos que isso é igual a 250 cm:
Passo 4
Queremos maximizar a área da janela. A área do retângulo é
e a área do semicírculo é
. Então, a área total
é:
Passo 5
Vamos usar a equação do perímetro para expressar
em termos de
:
Passo 6
Substituímos
na equação da área:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 8
Calculamos
:
Passo 9
Agora, encontramos
usando a equação do perímetro:
Resposta
As dimensões da janela são aproximadamente 70 cm de largura e 35 cm de altura, maximizando a entrada de luz.
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Mostre que
.