Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Se o perímetro da janela é de 250 cm , determine as dimensões da janela que permitem entrar a maior quantidade de luz.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma janela que é formada por um retângulo com um semicírculo em cima. O perímetro total dessa janela é de 250 cm. Nosso objetivo é encontrar as dimensões (largura e altura) dessa janela que permitam que entre a maior quantidade de luz possível, ou seja, que a área da janela seja maximizada. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria e cálculo de máximos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da janela. Temos um retângulo e um semicírculo. Vamos chamar a largura do retângulo de (onde é o raio do semicírculo) e a altura do retângulo de .

Passo 3

Agora, vamos calcular o perímetro total da janela. O perímetro do retângulo é . Mas como o topo é um semicírculo, precisamos subtrair a largura do retângulo e adicionar o perímetro do semicírculo, que é . Portanto, o perímetro total fica:
Sabemos que isso é igual a 250 cm:

Passo 4

Queremos maximizar a área da janela. A área do retângulo é e a área do semicírculo é . Então, a área total é:

Passo 5

Vamos usar a equação do perímetro para expressar em termos de :

Passo 6

Substituímos na equação da área:
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar o valor de que maximiza a área, derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 8

Calculamos :

Passo 9

Agora, encontramos usando a equação do perímetro:

Resposta

As dimensões da janela são aproximadamente 70 cm de largura e 35 cm de altura, maximizando a entrada de luz.

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