Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=0^infty 2^n(x-3)^nn+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma série infinita:
sumn=0^infty 2^n(x-3)^nn+3
O objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que para a série L = limn to infty | an+1an | , o limite
an = 2^n(x-3)^nn+3
determina a convergência:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui.
Vamos aplicar isso à nossa série onde:

Passo 3

Calculando an+1an = 2^n+1(x-3)^n+1(n+4) cdot n+32^n(x-3)^n = 2(x-3) cdot n+3n+4 :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | 2(x-3) cdot n+3n+4 | = | 2(x-3) | cdot limn to infty n+3n+4 = | 2(x-3) | cdot 1 = 2|x-3| tende ao infinito:

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que 2|x-3| < 1 implies |x-3| < 12 :
R = 12
O raio de convergência é o valor que multiplica a expressão , então aqui:

Passo 6

Agora, encontramos o intervalo de convergência resolvendo a desigualdade:
|x-3| < 12 implies -12 < x - 3 < 12 implies 2.5 < x < 3.5

Passo 7

Por fim, precisamos verificar se a série converge nos pontos finais an = 2^n(2.5-3)^nn+3 = 2^n(-0.5)^nn+3 = (-1)^nn+3 e an = 2^n(3.5-3)^nn+3 = 2^n(0.5)^nn+3 = 1n+3 .
  • Para :
Aqui, a série é uma série alternada. Aplicando o Teste da Série Alternada, que verifica se tende a zero e é decrescente, vemos que a série converge.
  • Para :
Aqui, a série é a série harmônica deslocada, que diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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