Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma série infinita:
O objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que para a série , o limite
determina a convergência:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui.
Vamos aplicar isso à nossa série onde:

Passo 3

Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que :
O raio de convergência é o valor que multiplica a expressão , então aqui:

Passo 6

Agora, encontramos o intervalo de convergência resolvendo a desigualdade:

Passo 7

Por fim, precisamos verificar se a série converge nos pontos finais e .
  • Para :
Aqui, a série é uma série alternada. Aplicando o Teste da Série Alternada, que verifica se tende a zero e é decrescente, vemos que a série converge.
  • Para :
Aqui, a série é a série harmônica deslocada, que diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.