Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma série infinita:
O objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que para a série , o limite
determina a convergência:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste não conclui.
Vamos aplicar isso à nossa série onde:
Passo 3
Calculando :
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que :
O raio de convergência é o valor que multiplica a expressão , então aqui:
Passo 6
Agora, encontramos o intervalo de convergência resolvendo a desigualdade:
Passo 7
Por fim, precisamos verificar se a série converge nos pontos finais e .
Para :
Aqui, a série é uma série alternada. Aplicando o Teste da Série Alternada, que verifica se tende a zero e é decrescente, vemos que a série converge.
Para :
Aqui, a série é a série harmônica deslocada, que diverge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .