Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série infinita: . Isso está relacionado ao estudo de convergência de séries de potências. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Simplificando a expressão:
Sabemos que . Portanto, o limite fica:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que :

Passo 6

Vamos resolver essa desigualdade:
Subtraindo 2 de todas as partes:
Dividindo tudo por 3:

Passo 7

O raio de convergência é o valor que multiplica a variável na desigualdade de convergência. Observando a desigualdade , podemos reescrever como . Assim, o raio de convergência é .

Passo 8

Agora, precisamos verificar os pontos finais do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
  • Em :
Esta série é semelhante à série alternada . Para convergir, além de alternada, a série precisa ter termos decrescentes que tendem a zero. Porém, aumenta sem limite, então a série não converge nesse ponto.
  • Em :
Essa é uma série p com , que diverge porque . Logo, também não converge nesse ponto.

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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