Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série infinita: . Isso está relacionado ao estudo de convergência de séries de potências. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular :
Passo 4
Simplificando a expressão:
Sabemos que . Portanto, o limite fica:
Passo 5
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que :
Passo 6
Vamos resolver essa desigualdade:
Subtraindo 2 de todas as partes:
Dividindo tudo por 3:
Passo 7
O raio de convergência é o valor que multiplica a variável na desigualdade de convergência. Observando a desigualdade , podemos reescrever como . Assim, o raio de convergência é .
Passo 8
Agora, precisamos verificar os pontos finais do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
Em :
Esta série é semelhante à série alternada . Para convergir, além de alternada, a série precisa ter termos decrescentes que tendem a zero. Porém, aumenta sem limite, então a série não converge nesse ponto.
Em :
Essa é uma série p com , que diverge porque . Logo, também não converge nesse ponto.
Resposta
O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .