Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita da forma . O objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série e também determinar o intervalo onde ela converge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma série de potências na forma geral , onde . Para encontrar o raio de convergência (), vamos aplicar o teste da razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
Passo 3
Aplicando o teste da razão, calculamos o limite:
Substituindo an:
L = limn to infty | (-1)^n+1(n+1)^2 5^n+1 cdot n^2 5^n(-1)^n | = limn to infty n^2(n+1)^2 cdot 5 = 15 limn to infty (nn+1)^2
Sabemos que limn to infty (nn+1)^2 = 1, então:
L = 15
Para que a série convirja, precisamos que L cdot |x| < 1, ou seja:
15 |x| < 1 implies |x| < 5
Então, o raio de convergência R é 5.
Passo 4
Agora que sabemos que R = 5, o intervalo de convergência será -5 < x < 5. Mas precisamos verificar os pontos finais x = -5 e x = 5 para ver se a série também converge nesses valores.