Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty(-1)^n x^nn^2 5^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita da forma sumn=1^infty(-1)^n x^nn^2 5^n. O objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série e também determinar o intervalo onde ela converge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma série de potências na forma geral sumn=1^infty an x^n, onde an = (-1)^nn^2 5^n. Para encontrar o raio de convergência ( R), vamos aplicar o teste da razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de x a série converge.

Passo 3

Aplicando o teste da razão, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Substituindo an:
L = limn to infty | (-1)^n+1(n+1)^2 5^n+1 cdot n^2 5^n(-1)^n | = limn to infty n^2(n+1)^2 cdot 5 = 15 limn to infty (nn+1)^2
Sabemos que limn to infty (nn+1)^2 = 1, então:
L = 15
Para que a série convirja, precisamos que L cdot |x| < 1, ou seja:
15 |x| < 1 implies |x| < 5
Então, o raio de convergência R é 5.

Passo 4

Agora que sabemos que R = 5, o intervalo de convergência será -5 < x < 5. Mas precisamos verificar os pontos finais x = -5 e x = 5 para ver se a série também converge nesses valores.
Para x = 5:
sumn=1^infty (-1)^n 5^nn^2 5^n = sumn=1^infty (-1)^nn^2
Essa é uma série alternada que converge pela série de Leibniz, já que 1/n^2 é decrescente e tende a zero.
Para x = -5:
sumn=1^infty (-1)^n (-5)^nn^2 5^n = sumn=1^infty (-1)^n (-1)^nn^2 = sumn=1^infty 1n^2
Essa é uma série p onde p=2 > 1, então também converge.

Resposta

O raio de convergência da série é 5 e o intervalo de convergência é -5 <= x <= 5.

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