Se
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e queremos mostrar que a derivada de ordem
avaliada em zero é igual a
. Vamos precisar de conceitos de derivadas e séries de Taylor para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial
pode ser expandida em uma série de Taylor:
No nosso caso, a função é
, então substituímos
por
:
Passo 3
A série de Taylor de uma função também pode ser escrita usando as derivadas da função avaliadas em zero:
Comparando com a série que encontramos para
:
Passo 4
Observamos que apenas os termos com potências pares de
aparecem na série de
. Isso significa que para
ímpar,
.
Para os termos pares, onde
, temos:
Passo 5
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Suponha que
para todo
.
Se for uma função par, mostre que
Se
Verifique que:
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.