Se f(x) = e^(x^2), mostre que
f^(2n)(0) = (2n)! / n!

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e queremos mostrar que a derivada de ordem avaliada em zero é igual a . Vamos precisar de conceitos de derivadas e séries de Taylor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial pode ser expandida em uma série de Taylor:
No nosso caso, a função é , então substituímos por :

Passo 3

A série de Taylor de uma função também pode ser escrita usando as derivadas da função avaliadas em zero:
Comparando com a série que encontramos para :

Passo 4

Observamos que apenas os termos com potências pares de aparecem na série de . Isso significa que para ímpar, .
Para os termos pares, onde , temos:

Passo 5

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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