Suponha que
para todo
.
Se
for uma função par, mostre que
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente mostrar que, se a função
for par, então todos os coeficientes das potências ímpares de
na série de potência dessa função são zero. Aqui, estamos lidando com séries de potências e funções pares. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma função par e como isso afeta os coeficientes na série de potência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função
é dita par se ela satisfaz a condição:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a série de potência dada:
Isso significa que
é expressa como uma soma infinita de termos que envolvem potências de
multiplicadas por coeficientes
.
Passo 4
Como
é par, outra maneira de escrever isso é:
De acordo com a definição de função par, isso deve ser igual a
:
Passo 5
Vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Note que
, então:
Agora, temos:
Passo 6
Como as séries são iguais para todo
, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Ou seja:
Isso implica que:
Passo 7
Agora, analisamos a equação
. Essa igualdade será verdadeira se pelo menos um dos fatores for zero.
Caso 1:
Caso 2:
O segundo caso ocorre quando
é par, porque
para
par e
para
ímpar.
Passo 8
Portanto, para
ímpar,
, então:
Isso significa que todos os coeficientes
onde
é ímpar devem ser zero.
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Verifique que:
Seja a função
;
Se
, mostre que
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.