Suponha que f(x)=sumn=0^infty cn x^n para todo x.
Se f for uma função par, mostre que
c1=c3=c5=cdots=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente mostrar que, se a função for par, então todos os coeficientes das potências ímpares de na série de potência dessa função são zero. Aqui, estamos lidando com séries de potências e funções pares. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma função par e como isso afeta os coeficientes na série de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função f(-x) = f(x) é dita par se ela satisfaz a condição:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos considerar a série de potência dada:
f(x) = sumn=0^infty cn x^n
Isso significa que é expressa como uma soma infinita de termos que envolvem potências de multiplicadas por coeficientes .

Passo 4

Como f(-x) = sumn=0^infty cn (-x)^n é par, outra maneira de escrever isso é:
sumn=0^infty cn (-x)^n = sumn=0^infty cn x^n
De acordo com a definição de função par, isso deve ser igual a :

Passo 5

Vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Note que sumn=0^infty cn (-1)^n x^n = sumn=0^infty cn x^n , então:
sumn=0^infty cn (-1)^n x^n = sumn=0^infty cn x^n
Agora, temos:

Passo 6

Como as séries são iguais para todo cn (-1)^n = cn para todo n , os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Ou seja:
cn [(-1)^n - 1] = 0
Isso implica que:

Passo 7

Agora, analisamos a equação . Essa igualdade será verdadeira se pelo menos um dos fatores for zero.
Caso 1:
Caso 2:
O segundo caso ocorre quando é par, porque para par e para ímpar.

Passo 8

Portanto, para cn (-1 - 1) = cn (-2) = 0 Rightarrow cn = 0 ímpar, , então:
Isso significa que todos os coeficientes onde é ímpar devem ser zero.

Resposta

Portanto, mostramos que .

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