Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo termos com potências de . Para encontrar o raio e o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , o limite:
determina a convergência:
Se an+1an = 2(x-2) cdot 1n+3 , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular :
Simplificando:
Passo 3
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | 2(x-2) cdot 1n+3 | = 0 tende ao infinito:
Porque tende a 0 conforme cresce.
Passo 4
Como , isso significa que a série converge para qualquer valor de . Ou seja, não há restrição no valor de para a convergência.
Passo 5
O raio de convergência é infinito, já que a série converge para todos os . Portanto, o intervalo de convergência também é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é (todos os números reais).