Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty 2^n(x-2)^n(n+2)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty 2^n(x-2)^n(n+2)!
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo termos com potências de . Para encontrar o raio e o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , o limite:
an+1an = 2^n+1(x-2)^n+1(n+3)! cdot (n+2)!2^n(x-2)^n
determina a convergência:
  • Se an+1an = 2(x-2) cdot 1n+3 , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular :
Simplificando:

Passo 3

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | 2(x-2) cdot 1n+3 | = 0 tende ao infinito:
Porque tende a 0 conforme cresce.

Passo 4

Como , isso significa que a série converge para qualquer valor de . Ou seja, não há restrição no valor de para a convergência.

Passo 5

O raio de convergência é infinito, já que a série converge para todos os . Portanto, o intervalo de convergência também é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é (todos os números reais).

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