Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty (x+2)^nn 4^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Estamos lidando com séries de potências e vamos utilizar o Teste da Razão para descobrir onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência. Esse teste diz que para a série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos identificar an = (x+2)^nn 4^n na nossa série:
an+1an = (x+2)^n+1(n+1) 4^n+1(x+2)^nn 4^n = (x+2)^n+1(n+1) 4^n+1 cdot n 4^n(x+2)^n = (x+2) cdot n4 (n+1)
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | (x+2) cdot n4 (n+1) | = limn to infty | (x+2)4 cdot nn+1 | = | x+24 | cdot limn to infty nn+1 = | x+24 | cdot 1 = | x+24 | tende ao infinito:

Passo 5

Para que a série convirja, precisamos que | x+24 | < 1 :
|x+2| < 4
Resolvendo essa desigualdade:
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 6

Agora, para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos a desigualdade -4 < x + 2 < 4 :
-6 < x < 2
Subtraindo 2 em todos os lados:
Então, o intervalo de convergência é . Mas precisamos verificar os extremos para saber se eles estão incluídos.

Passo 7

Vamos verificar sumn=1^infty (-6+2)^nn 4^n = sumn=1^infty (-4)^nn 4^n = sumn=1^infty (-1)^nn :
Substituindo na série:
Essa é a série alternada , que converge pelo Teste da Série Alternada.

Passo 8

Agora, vamos verificar sumn=1^infty (2+2)^nn 4^n = sumn=1^infty 4^nn 4^n = sumn=1^infty 1n :
Substituindo na série:
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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