Utilizando os cálculos do exercícios anterior, calcule:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de
de
até
. Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar polinômios e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Vamos multiplicar os termos:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a antiderivada (ou primitiva) de cada termo da função integrada. A antiderivada de
é
e a antiderivada de
é
. Então, a antiderivada completa é:
Passo 4
Aplicaremos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:
Passo 5
Vamos calcular cada termo:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O valor da integral é
.
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A força da gravidade em um objeto de massa
a uma altura
acima da superfície da Terra é
onde
é o raio da Terra e
é a aceleração da gravidade.
Observe que, se aproximarmos pelo primeiro termo na série, obtemos a expressão
, que é geralmente usada quando
é muito menor que
. Use o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas para estimar a gama de valores de
para os quais a aproximação
tem precisão de
. (Use
)
Observe que, se aproximarmos