Utilizando os cálculos do exercícios anterior, calcule: integral-1^2 3 x(x-4) d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de de até . Estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar polinômios e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Vamos multiplicar os termos:
3x(x - 4) = 3x^2 - 12x
Então, a integral fica:
integral-1^2 (3x^2 - 12x) , dx

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada (ou primitiva) de cada termo da função integrada. A antiderivada de x^3 - 6x^2 é e a antiderivada de é . Então, a antiderivada completa é:

Passo 4

Aplicaremos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:
[ x^3 - 6x^2 ]-1^2 = (2^3 - 6 cdot 2^2) - ( (-1)^3 - 6 cdot (-1)^2 )

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
Para 2^3 = 8 6 cdot 2^2 = 6 cdot 4 = 24 Rightarrow 8 - 24 = -16 :
(-1)^3 = -1 6 cdot (-1)^2 = 6 cdot 1 = 6 Rightarrow -1 - 6 = -7
Para -16 - (-7) = -16 + 7 = -9 :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral é .

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