Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática para determinar se uma série converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite do valor absoluto do termo seguinte dividido pelo termo atual quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Vamos chamar o termo geral da série de :
Agora, calculamos :
Simplificando os termos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty (n+1)^2n^2 cdot |x|2 = limn to infty (1 + 2n + 1n^2) cdot |x|2 = |x|2 tende ao infinito:
|x|2 < 1 Rightarrow |x| < 2
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
Isso nos indica que o raio de convergência é 2.
Passo 4
Agora que sabemos que o raio de convergência é 2, vamos determinar o intervalo de convergência verificando os pontos finais sumn=0^+infty(-1)^n n^2 (2)^n2^n = sumn=0^+infty(-1)^n n^2 e sumn=0^+infty(-1)^n n^2 (-2)^n2^n = sumn=0^+infty n^2 .
Para :
Substituindo na série:
Aqui, os termos não tendem a zero quando tende ao infinito, então a série diverge.
Para :
Substituindo na série:
Novamente, os termos não tendem a zero, então a série também diverge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .