Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de . Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a série de Taylor da função centrada em . Além disso, precisamos descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Então, vamos usar o que sabemos sobre séries de Taylor e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembra o que é uma série de Taylor? É uma maneira de aproximar uma função usando uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é . A fórmula geral da série de Taylor para uma função centrada em é:
Aqui, é a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
Primeira derivada:
Avaliando em :
Segunda derivada:
Avaliando em :
Terceira derivada:
Avaliando em :
Quarta derivada:
Avaliando em :
E assim por diante. Observamos que as derivadas seguem um padrão envolvendo potências de e sinais alternados.
Passo 4
Agora, vamos generalizar a expressão para a n-ésima derivada de :
Avaliando em :
Passo 5
Substituindo na fórmula da série de Taylor:
Como , temos:
Simplificando que é igual a :
Passo 6
Pronto, essa é a série de Taylor da função centrada em . Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão.
Consideramos o limite:
Onde . Calculando:
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1: