Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. Também encontre o raio de convergência associado.
f(x) = ln(x), a = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a série de Taylor da função centrada em . Além disso, precisamos descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Então, vamos usar o que sabemos sobre séries de Taylor e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembra o que é uma série de Taylor? É uma maneira de aproximar uma função usando uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico, que nesse caso é . A fórmula geral da série de Taylor para uma função centrada em é:
Aqui, é a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
  • Primeira derivada:
    Avaliando em :
  • Segunda derivada:
    Avaliando em :
  • Terceira derivada:
    Avaliando em :
  • Quarta derivada:
    Avaliando em :
E assim por diante. Observamos que as derivadas seguem um padrão envolvendo potências de e sinais alternados.

Passo 4

Agora, vamos generalizar a expressão para a n-ésima derivada de :
Avaliando em :

Passo 5

Substituindo na fórmula da série de Taylor:
Como , temos:
Simplificando que é igual a :

Passo 6

Pronto, essa é a série de Taylor da função centrada em . Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão.
Consideramos o limite:
Onde . Calculando:
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
Então, o raio de convergência é 2.

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:
E o raio de convergência dessa série é .

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