Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=0^+infty 3^nn! x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso está dentro do conteúdo de sucessões e séries, especificamente sobre a convergência de séries de potências. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. No nosso caso, o termo geral é:
an = 3^nn! x^n

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que para encontrar o raio de convergência L = limn to +infty | an+1an | , calculamos o limite:
Se for igual a 0, então a série converge para todo o , ou seja, o raio de convergência é infinito.

Passo 4

Vamos calcular an+1an = 3^n+1(n+1)! x^n+1 times n!3^n x^n = 3 xn+1 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to +infty | 3 xn+1 | = limn to +infty 3 |x|n+1 = 0 tende ao infinito:

Passo 6

Como , segundo o Teste da Razão, a série converge para todo valor de . Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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