Encontre a série de Maclaurin da função dada.
f(x) = x / (1 + 4 x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Maclaurin da função . Isso significa que vamos expandir essa função em uma série de potências centrada em . Para isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se assemelhe à série geométrica básica. A série geométrica é dada por:
onde .
No nosso caso, a função é . Podemos reescrever o denominador para se parecer com a fórmula da série geométrica:
Assim, identificamos que .

Passo 3

Agora que temos a função no formato da série geométrica, podemos substituir na série:
Multiplicando isso por , temos:
Isso nos dá a série de Maclaurin para a função .

Resposta

A série de Maclaurin da função é:

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