Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=0^+infty x^n2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=0^+infty x^n2 n+1. Isso envolve entender séries de potências e como determinar onde elas convergem. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a descobrir para quais valores de x a série sum an converge. A fórmula do Teste da Razão é:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso, an = x^n2n + 1. Vamos calcular an+1an:
an+1an = x^n+12(n+1) + 1x^n2n + 1 = x^n+1x^n cdot 2n + 12n + 3 = x cdot 2n + 12n + 3

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite L quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | x cdot 2n + 12n + 3 | = |x| cdot limn to infty 2n + 12n + 3
Simplificando o limite:
limn to infty 2n + 12n + 3 = limn to infty 2 + 1n2 + 3n = 22 = 1
Portanto,
L = |x| cdot 1 = |x|

Passo 5

Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que L < 1:
|x| < 1
Isso significa que o raio de convergência R é 1.

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que para |x| < 1, a série converge. Precisamos verificar o que acontece nos pontos x = 1 e x = -1.
Para x = 1:
A série se torna sumn=0^+infty 12n + 1. Isso é semelhante à série harmônica sum 1n, que diverge. Portanto, a série também diverge em x = 1.
Para x = -1:
A série se torna sumn=0^+infty (-1)^n2n + 1. Essa é uma série alternada, e podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos diminuem em módulo e tendem a zero, a série converge. Aqui, 12n + 1 diminui e tende a zero, então a série converge em x = -1.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é -1 <= x < 1.

Exercícios relacionados