Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso envolve entender séries de potências e como determinar onde elas convergem. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos ajuda a descobrir para quais valores de a série converge. A fórmula do Teste da Razão é:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
No nosso caso, an = x^n2n + 1. Vamos calcular an+1an:
Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que L < 1:
|x| < 1
Isso significa que o raio de convergência R é 1.
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que para |x| < 1, a série converge. Precisamos verificar o que acontece nos pontos x = 1 e x = -1.
Para x = 1:
A série se torna sumn=0^+infty 12n + 1. Isso é semelhante à série harmônica sum 1n, que diverge. Portanto, a série também diverge em x = 1.
Para x = -1:
A série se torna sumn=0^+infty (-1)^n2n + 1. Essa é uma série alternada, e podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos diminuem em módulo e tendem a zero, a série converge. Aqui, 12n + 1 diminui e tende a zero, então a série converge em x = -1.
Resposta
O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é -1 <= x < 1.