Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
. Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a série de Taylor da função
centrada no ponto
. Além disso, precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor, derivadas e análise de convergência.
Passo 2
Primeiro, lembra que a série de Taylor de uma função
centrada em
é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de
no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
E assim por diante, percebemos que as derivadas se repetem a cada 4 termos.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
E assim sucessivamente.
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
Então, observando os valores das derivadas, a série fica:
Passo 6
Podemos simplificar a série pegando somente os termos pares, já que os coeficientes dos termos ímpares são zero:
Passo 7
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que para a série de Taylor de funções analíticas como
, o raio de convergência é infinito. Ou seja, a série converge para todos os valores de
.
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
E o raio de convergência associado é infinito.