Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. Também encontre o raio de convergência associado.
f(x) = cos(x), a = pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a série de Taylor da função centrada no ponto . Além disso, precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor, derivadas e análise de convergência.

Passo 2

Primeiro, lembra que a série de Taylor de uma função centrada em é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de no ponto .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
E assim por diante, percebemos que as derivadas se repetem a cada 4 termos.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
E assim sucessivamente.

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
Então, observando os valores das derivadas, a série fica:

Passo 6

Podemos simplificar a série pegando somente os termos pares, já que os coeficientes dos termos ímpares são zero:

Passo 7

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que para a série de Taylor de funções analíticas como , o raio de convergência é infinito. Ou seja, a série converge para todos os valores de .

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:
E o raio de convergência associado é infinito.

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