Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty (-2)^n x^nraiz[4]n

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado do exercício: precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (-2)^n x^nraiz[4]n. O conteúdo que estamos tratando aqui é sobre séries de potências, que envolvem conceitos como convergência e raio de convergência. Para resolver, vamos precisar da fórmula do raio de convergência usando o teste da razão.

Passo 2

Agora, vamos aplicar o teste da razão, que diz que o raio de convergência R é dado por:
1R = limn to infty | an+1an |
onde an = (-2)^n x^nraiz[4]n. Então, vamos calcular an+1:
an+1 = (-2)^n+1 x^n+1raiz[4]n+1
Agora, vamos calcular a razão:
| an+1an | = | (-2)^n+1 x^n+1raiz[4]n+1(-2)^n x^nraiz[4]n |
Isso simplifica para:
| (-2)^n+1 x^n+1 raiz[4]n(-2)^n x^n raiz[4]n+1 | = | -2x raiz[4]nraiz[4]n+1 |

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão. A razão se torna:
| -2x | cdot raiz[4]nraiz[4]n+1
À medida que n se torna muito grande, raiz[4]nraiz[4]n+1 tende a 1. Portanto, obtemos:
limn to infty | an+1an | = | -2x |
Portanto, temos:
1R = | -2x | Rightarrow R = 12

Passo 4

Com o raio de convergência R = 12, sabemos que a série converge para |x| < 12. Para encontrar o intervalo de convergência, precisamos verificar os extremos, ou seja, x = 12 e x = -12.
Vamos testar x = 12:
sumn=1^infty (-2)^n (12)^nraiz[4]n = sumn=1^infty (-1)^nraiz[4]n
Essa série alternada converge por ser um caso de série de Leibniz. Agora, vamos testar x = -12:
sumn=1^infty (-2)^n (-12)^nraiz[4]n = sumn=1^infty 1raiz[4]n
Essa série diverge porque não atende ao teste da convergência. Assim, o intervalo de convergência é: [-12, 12).

Resposta

O raio de convergência é R = 12 e o intervalo de convergência é [-12, 12).

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