Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado do exercício: precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . O conteúdo que estamos tratando aqui é sobre séries de potências, que envolvem conceitos como convergência e raio de convergência. Para resolver, vamos precisar da fórmula do raio de convergência usando o teste da razão.
Passo 2
Agora, vamos aplicar o teste da razão, que diz que o raio de convergência é dado por:
onde . Então, vamos calcular :
Agora, vamos calcular a razão:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão. A razão se torna:
À medida que se torna muito grande, tende a 1. Portanto, obtemos:
Portanto, temos:
Passo 4
Com o raio de convergência , sabemos que a série converge para . Para encontrar o intervalo de convergência, precisamos verificar os extremos, ou seja, e .
Vamos testar :
Essa série alternada converge por ser um caso de série de Leibniz. Agora, vamos testar :
Essa série diverge porque não atende ao teste da convergência. Assim, o intervalo de convergência é: .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .