Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado do exercício: precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . O conteúdo que estamos tratando aqui é sobre séries de potências, que envolvem conceitos como convergência e raio de convergência. Para resolver, vamos precisar da fórmula do raio de convergência usando o teste da razão.

Passo 2

Agora, vamos aplicar o teste da razão, que diz que o raio de convergência é dado por:
onde . Então, vamos calcular :
Agora, vamos calcular a razão:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão. A razão se torna:
À medida que se torna muito grande, tende a 1. Portanto, obtemos:
Portanto, temos:

Passo 4

Com o raio de convergência , sabemos que a série converge para . Para encontrar o intervalo de convergência, precisamos verificar os extremos, ou seja, e .
Vamos testar :
Essa série alternada converge por ser um caso de série de Leibniz. Agora, vamos testar :
Essa série diverge porque não atende ao teste da convergência. Assim, o intervalo de convergência é: .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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Um objeto com de altura é colocado a uma distância de do lado esquerdo de um espelho côncavo que possui raio de curvatura igual a .
(a) Faça um diagrama dos raios principais mostrando a formação da imagem.
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R: (b) , imagem real, invertida e maior.
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(a) +5 cm ;
(b) -5 cm .
R: (a) e (biconvexa);
(b) e (bicôncava).
Lente convergente (bicôncava). Construa os diagramas e caracterize a imagem (posição, aumento, orientação e tipo) de um objeto colocado em cada uma das seguintes regiões/pontos:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) .
Repita o procedimento para uma lente divergente (bicôncava).