Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado do exercício: precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . O conteúdo que estamos tratando aqui é sobre séries de potências, que envolvem conceitos como convergência e raio de convergência. Para resolver, vamos precisar da fórmula do raio de convergência usando o teste da razão.
Passo 2
Agora, vamos aplicar o teste da razão, que diz que o raio de convergência é dado por:
onde an = (-2)^n x^nraiz[4]n. Então, vamos calcular an+1:
Agora, vamos simplificar a expressão. A razão se torna:
| -2x | cdot raiz[4]nraiz[4]n+1
À medida que n se torna muito grande, raiz[4]nraiz[4]n+1 tende a 1. Portanto, obtemos:
limn to infty | an+1an | = | -2x |
Portanto, temos:
1R = | -2x | Rightarrow R = 12
Passo 4
Com o raio de convergência R = 12, sabemos que a série converge para |x| < 12. Para encontrar o intervalo de convergência, precisamos verificar os extremos, ou seja, x = 12 e x = -12.