Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . O conteúdo que estamos abordando aqui é sobre séries de potências e, para resolver isso, vamos precisar usar o teste da razão (ou mesmo o teste da raiz, mas vamos nos concentrar no da razão). O raio de convergência, que é a distância até onde a série converge, vai nos ajudar a encontrar o intervalo em que pode variar.

Passo 2

O teste da razão diz que devemos olhar para o limite da razão entre dois termos consecutivos da série. Então, para a série , nossos termos são:
A próxima coisa que precisamos fazer é calcular:
Isso significa que vamos calcular:
Agora, encontramos a razão entre os termos:
Simplificando isso, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar o fato de que se aproxima de quando tende ao infinito. Portanto, temos:
Assim, levando o limite:
isso vai ser infinito para qualquer , exceto quando . Isso significa que a série só converge quando .

Resposta

Então, o raio de convergência é 0, e o intervalo de convergência é apenas .

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