Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty n^n x^n

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty n^n x^n. O conteúdo que estamos abordando aqui é sobre séries de potências e, para resolver isso, vamos precisar usar o teste da razão (ou mesmo o teste da raiz, mas vamos nos concentrar no da razão). O raio de convergência, que é a distância até onde a série converge, vai nos ajudar a encontrar o intervalo em que x pode variar.

Passo 2

O teste da razão diz que devemos olhar para o limite da razão entre dois termos consecutivos da série. Então, para a série sumn=1^infty n^n x^n, nossos termos são:
an = n^n x^n
A próxima coisa que precisamos fazer é calcular:
limn to infty | an+1an |
Isso significa que vamos calcular:
an+1 = (n+1)^n+1 x^n+1
Agora, encontramos a razão entre os termos:
an+1an = (n+1)^n+1 x^n+1n^n x^n = (n+1)^n+1n^n x
Simplificando isso, temos:
an+1an = (n+1) ( n+1n )^n x = (n+1) ( 1 + 1n )^n x

Passo 3

Agora, vamos usar o fato de que ( 1 + 1n )^n se aproxima de e quando n tende ao infinito. Portanto, temos:
limn to infty ( n+1 ) ( 1 + 1n )^n x approx (n+1)e |x|
Assim, levando o limite:
limn to infty (n+1)e |x| = infty
isso vai ser infinito para qualquer x, exceto quando x = 0. Isso significa que a série só converge quando x = 0.

Resposta

Então, o raio de convergência R é 0, e o intervalo de convergência é apenas 0.

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