Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . O conteúdo aqui é sobre séries e convergência, e para resolver, vamos usar o teste da razão, que é uma ferramenta bem legal para descobrir esses raios e intervalos. Precisamos também entender um pouquinho sobre as propriedades de séries.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, começamos analisando o termo geral da nossa série, que é . Vamos denotar esse termo como . O teste da razão diz que precisamos calcular o limite da razão entre termos consecutivos, ou seja, .
Vamos calcular isso!
Primeiro, vamos encontrar :
Agora, vamos calcular a razão:
Simplificando isso, temos:

Passo 3

Agora vamos encontrar o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que vai para 1 quando vai para o infinito. Então, substituímos isso no limite:
Pelo teste da razão, a série converge se .

Passo 4

Vamos ver isso na forma da equação:
Isso nos dá:
Multiplicando toda a desigualdade por 5 (lembrando que, quando multiplicamos ou dividimos uma desigualdade por um número positivo, os sinais não mudam):

Resposta

Portanto, o raio de convergência é 5 e o intervalo de convergência é .

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