Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty x^n5^n n^5

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty x^n5^n n^5. O conteúdo aqui é sobre séries e convergência, e para resolver, vamos usar o teste da razão, que é uma ferramenta bem legal para descobrir esses raios e intervalos. Precisamos também entender um pouquinho sobre as propriedades de séries.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, começamos analisando o termo geral da nossa série, que é x^n5^n n^5. Vamos denotar esse termo como an = x^n5^n n^5. O teste da razão diz que precisamos calcular o limite da razão entre termos consecutivos, ou seja, L = limn to infty | an+1an |.
Vamos calcular isso!
Primeiro, vamos encontrar an+1:
an+1 = x^n+15^n+1 (n+1)^5 = x^n cdot x5^n cdot 5 cdot (n+1)^5
Agora, vamos calcular a razão:
an+1an = x^n cdot x5^n cdot 5 cdot (n+1)^5x^n5^n n^5
Simplificando isso, temos:
an+1an = x5 cdot n^5(n+1)^5

Passo 3

Agora vamos encontrar o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | x5 cdot n^5(n+1)^5 |
Sabemos que n^5(n+1)^5 vai para 1 quando n vai para o infinito. Então, substituímos isso no limite:
L = | x5 | cdot 1 = | x5 |
Pelo teste da razão, a série converge se L < 1.

Passo 4

Vamos ver isso na forma da equação:
| x5 | < 1
Isso nos dá:
-1 < x5 < 1
Multiplicando toda a desigualdade por 5 (lembrando que, quando multiplicamos ou dividimos uma desigualdade por um número positivo, os sinais não mudam):
-5 < x < 5

Resposta

Portanto, o raio de convergência R é 5 e o intervalo de convergência é (-5, 5).

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