Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . O conteúdo aqui é sobre séries e convergência, e para resolver, vamos usar o teste da razão, que é uma ferramenta bem legal para descobrir esses raios e intervalos. Precisamos também entender um pouquinho sobre as propriedades de séries.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão, começamos analisando o termo geral da nossa série, que é . Vamos denotar esse termo como . O teste da razão diz que precisamos calcular o limite da razão entre termos consecutivos, ou seja, .
Agora vamos encontrar o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | x5 cdot n^5(n+1)^5 |
Sabemos que n^5(n+1)^5 vai para 1 quando n vai para o infinito. Então, substituímos isso no limite:
L = | x5 | cdot 1 = | x5 |
Pelo teste da razão, a série converge se L < 1.
Passo 4
Vamos ver isso na forma da equação:
| x5 | < 1
Isso nos dá:
-1 < x5 < 1
Multiplicando toda a desigualdade por 5 (lembrando que, quando multiplicamos ou dividimos uma desigualdade por um número positivo, os sinais não mudam):
-5 < x < 5
Resposta
Portanto, o raio de convergência R é 5 e o intervalo de convergência é (-5, 5).