Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty x^nraizn

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty x^nraizn. Isso cai na área de séries infinitas e, mais especificamente, séries de potências. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão para descobrir o raio de convergência.

Passo 2

A série que temos é sumn=1^infty x^nraizn. O nosso primeiro passo vai ser aplicar o teste da razão. Para isso, precisamos considerar o termo geral da série, que é an = x^nraizn. O próximo passo é calcular o limite da razão entre o termo an+1 e an.
Primeiro, vamos encontrar an+1:
an+1 = x^n+1raizn+1
Agora, vamos calcular a razão:
an+1an = x^n+1raizn+1x^nraizn = x^n+1raizn+1 cdot raiznx^n
= x cdot raiznraizn+1
Agora, precisamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | x cdot raiznraizn+1 |
Quando simplificamos isso, sabemos que raizn+1 sim raizn quando n é muito grande. Então temos:
limn to infty raiznraizn+1 = limn to infty raiznraizn(1+1n) = limn to infty 1raiz1+1n = 1
Portanto, temos:
limn to infty | an+1an | = |x| cdot 1 = |x|

Passo 3

De acordo com o teste da razão, a série converge se:
|x| < 1
Então, o raio de convergência R é 1. Agora, precisamos descobrir o intervalo de convergência. Precisamos testar as extremidades x = -1 e x = 1.
Para x = 1, a série se torna:
sumn=1^infty 1raizn
Essa série diverge, pois é uma série p com p = 12 < 1.
Para x = -1, a série se torna:
sumn=1^infty (-1)^nraizn
Essa é uma série alternada e podemos aplicar o critério da série alternada. O limite do termo geral bn = 1raizn tende a zero conforme n tende ao infinito. Como bn é decrescente e tende a zero, essa série converge.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [-1, 1), ou seja, a série converge para x entre -1 e 1, incluindo -1 e excluindo 1.

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