Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso cai na área de séries infinitas e, mais especificamente, séries de potências. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão para descobrir o raio de convergência.
Passo 2
A série que temos é . O nosso primeiro passo vai ser aplicar o teste da razão. Para isso, precisamos considerar o termo geral da série, que é . O próximo passo é calcular o limite da razão entre o termo e .
Primeiro, vamos encontrar :
Agora, vamos calcular a razão:
Agora, precisamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Quando simplificamos isso, sabemos que quando é muito grande. Então temos:
Portanto, temos:
Passo 3
De acordo com o teste da razão, a série converge se:
Então, o raio de convergência é 1. Agora, precisamos descobrir o intervalo de convergência. Precisamos testar as extremidades e .
Para , a série se torna:
Essa série diverge, pois é uma série com .
Para , a série se torna:
Essa é uma série alternada e podemos aplicar o critério da série alternada. O limite do termo geral tende a zero conforme tende ao infinito. Como é decrescente e tende a zero, essa série converge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é , ou seja, a série converge para entre e , incluindo e excluindo .