Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado: (Método da variação dos parâmetros)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a equação diferencial ordinária de segunda ordem . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método da variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e como aplicar esse método específico para encontrar soluções que englobem todas as possíveis soluções da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Resolver a equação homogênea nos dá a base para encontrar a solução geral da equação completa.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea , assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação, temos:
Como nunca é zero, podemos igualar o termo dentro dos parênteses a zero:
Isso nos dá duas raízes: e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea .
Segundo esse método, assumimos que as constantes e na solução homogênea passam a ser funções de , ou seja, e .

Passo 6

A solução particular será então:
Calculamos as derivadas de :
Mas para simplificar, geralmente impomos que:
Isso nos ajuda a resolver e .

Passo 7

Substituindo , e na equação original , e aplicando a condição acima, conseguimos um sistema de equações para e .

Passo 8

Resolvendo o sistema, encontramos:
Integrando, temos:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando uma tabela de integrais.

Passo 9

Após resolver a integral, encontramos . Substituímos de volta na expressão de para obter a solução particular.

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial original é a soma da solução homogênea com a solução particular:
çã

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.