Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método da variação dos parâmetros)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a equação diferencial ordinária de segunda ordem
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método da variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e como aplicar esse método específico para encontrar soluções que englobem todas as possíveis soluções da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Resolver a equação homogênea nos dá a base para encontrar a solução geral da equação completa.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea
, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, podemos igualar o termo dentro dos parênteses a zero:
Isso nos dá duas raízes:
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular
da equação não homogênea
.
Segundo esse método, assumimos que as constantes
e
na solução homogênea passam a ser funções de
, ou seja,
e
.
Passo 6
A solução particular será então:
Calculamos as derivadas de
:
Mas para simplificar, geralmente impomos que:
Isso nos ajuda a resolver
e
.
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original
, e aplicando a condição acima, conseguimos um sistema de equações para
e
.
Passo 8
Resolvendo o sistema, encontramos:
Integrando, temos:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando uma tabela de integrais.
Passo 9
Após resolver a integral, encontramos
. Substituímos de volta na expressão de
para obter a solução particular.
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial original é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Encontre a solução geral das EDOS lineares de segunda ordem abaixo, usando o método especificado:
(Método da variação dos parâmetros)
Resolva cada equação diferencial linear de segunda ordem, encontrando a solução geral, usando o método que preferir.