Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que facilite a aplicação do Teste da Razão. Podemos colocar os termos de e dentro de uma única fração:
Aqui, identificamos que a série tem a forma , onde .

Passo 3

O Teste da Razão nos diz que a série converge se o limite
for menor que 1, ou seja, .

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão na nossa série:
Note que .

Passo 5

Para que a série convirja, precisamos que:
Isso implica que:
Esse valor de é o raio de convergência .

Passo 6

Com o raio de convergência determinado, podemos estabelecer o intervalo de convergência. A desigualdade significa que:
Então, o intervalo de convergência é .

Passo 7

Por último, é importante verificar as extremidades do intervalo para confirmar se a série converge nesses pontos.
  • Para :
Essa série diverge.
  • Para :
Essa série também diverge.
Portanto, as extremidades não fazem parte do intervalo de convergência.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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