Se for um inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência de uma série infinita. A série é da forma:
Aqui, é um número inteiro positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o raio de convergência e como encontrá-lo usando o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até onde a série infinita converge, ou seja, para quais valores de a série soma a um valor finito. Para encontrar esse raio, usamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. O termo geral da série é:
Precisamos calcular o limite:
Passo 4
Vamos substituir e na fórmula:
Passo 5
Simplificando os fatoriais:
Sabemos que , então:
E
Passo 6
Substituindo de volta na razão:
Passo 7
Agora, observamos que o denominador tem termos, todos próximos a quando é grande. Podemos aproximar cada termo no denominador por , então: