Se for um inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência de uma série infinita. A série é da forma:
Aqui, é um número inteiro positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o raio de convergência e como encontrá-lo usando o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até onde a série infinita converge, ou seja, para quais valores de a série soma a um valor finito. Para encontrar esse raio, usamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. O termo geral da série é:
Precisamos calcular o limite:
Passo 4
Vamos substituir an+1an = ((n+1)!)^k(k (n+1))! x^n+1(n!)^k(k n)! x^n = ((n+1)!)^k(k (n+1))! cdot (k n)!(n!)^k cdot x e na fórmula:
Passo 5
Simplificando os fatoriais:
Sabemos que ((n+1)!)^k = (n+1)^k cdot (n!)^k , então:
E
Passo 6
Substituindo de volta na razão:
an+1an = (n+1)^k cdot (n!)^k(k n + k)(k n + k -1)cdots(k n +1) cdot (k n)! cdot (k n)!(n!)^k cdot x = (n+1)^k(k n + k)(k n + k -1)cdots(k n +1) cdot x
Passo 7
Agora, observamos que o denominador tem (k n + k)(k n + k -1)cdots(k n +1) approx (k n)^k termos, todos próximos a quando é grande. Podemos aproximar cada termo no denominador por , então:
Passo 8
Substituindo essa aproximação na razão:
an+1an approx (n+1)^k(k n)^k cdot x = ( n+1k n )^k cdot x = ( 1k cdot n+1n )^k cdot x
Como L = limn to infty | an+1an | = ( 1k )^k |x| tende ao infinito, , então:
Passo 9
Para a série convergir, queremos que ( 1k )^k |x| < 1 :