Se for um inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência de uma série infinita. A série é da forma:
Aqui, é um número inteiro positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o raio de convergência e como encontrá-lo usando o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até onde a série infinita converge, ou seja, para quais valores de a série soma a um valor finito. Para encontrar esse raio, usamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. O termo geral da série é:
Precisamos calcular o limite:

Passo 4

Vamos substituir e na fórmula:

Passo 5

Simplificando os fatoriais:
Sabemos que , então:
E

Passo 6

Substituindo de volta na razão:

Passo 7

Agora, observamos que o denominador tem termos, todos próximos a quando é grande. Podemos aproximar cada termo no denominador por , então:

Passo 8

Substituindo essa aproximação na razão:
Como tende ao infinito, , então:

Passo 9

Para a série convergir, queremos que :
Resolvendo para :

Resposta

O raio de convergência da série é .

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