Sejam
e
números reais
. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma série de potências cuja intervalo de convergência seja exatamente o intervalo
, onde
e
são números reais com
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências, seus intervalos de convergência e como determinar esses intervalos usando o centro e o raio de convergência da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências é geralmente escrita na forma:
onde
é o centro da série e
são os coeficientes.
Passo 3
O intervalo de convergência de uma série de potências é o conjunto de valores de
para os quais a série converge. Esse intervalo é geralmente centrado em
e tem um raio de convergência
, formando o intervalo
.
Passo 4
Para que o intervalo de convergência seja
, precisamos que:
Resolvendo esse sistema, podemos encontrar
e
.
Passo 5
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos construir uma série de potências centrada em
com esse raio de convergência.
Passo 7
Vamos escolher uma série de potências simples, como a série geométrica:
Sabemos que essa série converge quando
.
Passo 8
Para ajustar o raio de convergência da nossa série para
, vamos escalar a série geométrica:
Essa série terá raio de convergência
, garantindo que o intervalo de convergência seja
.
Resposta
A série de potências desejada é:
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necessário para que o capital inicial dobre o seu valor.
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A escrita dos números maiores que 20 eram feitas na vertical. Por exemplo, no número
A escrita dos números maiores que 20 eram feitas na vertical. Por exemplo, no número
os dois pontos superiores representam a quantidade de vintenas, ou seja, há duas vintenas, e o conjunto de símbolos inferiores (quatro pontos e um traço) significa as unidades, nove unidades.
Com base nessas informações, escreva o número expresso acima em base binária, octal e hexadecimal.
Com base nessas informações, escreva o número expresso acima em base binária, octal e hexadecimal.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
A função
definida por
é chamada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir George Airy (1801-1892).
(b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela.
(b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela.