Sejam e números reais . Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma série de potências cuja intervalo de convergência seja exatamente o intervalo , onde e são números reais com . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências, seus intervalos de convergência e como determinar esses intervalos usando o centro e o raio de convergência da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências é geralmente escrita na forma:
onde é o centro da série e são os coeficientes.

Passo 3

O intervalo de convergência de uma série de potências é o conjunto de valores de para os quais a série converge. Esse intervalo é geralmente centrado em e tem um raio de convergência , formando o intervalo .

Passo 4

Para que o intervalo de convergência seja , precisamos que:
Resolvendo esse sistema, podemos encontrar e .

Passo 5

Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:

Passo 6

Agora que temos e , podemos construir uma série de potências centrada em com esse raio de convergência.

Passo 7

Vamos escolher uma série de potências simples, como a série geométrica:
Sabemos que essa série converge quando .

Passo 8

Para ajustar o raio de convergência da nossa série para , vamos escalar a série geométrica:
Essa série terá raio de convergência , garantindo que o intervalo de convergência seja .

Resposta

A série de potências desejada é:

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