Sejam
e
números reais
. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma série de potências cuja intervalo de convergência seja exatamente o intervalo
, onde
e
são números reais com
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências, seus intervalos de convergência e como determinar esses intervalos usando o centro e o raio de convergência da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências é geralmente escrita na forma:
onde
é o centro da série e
são os coeficientes.
Passo 3
O intervalo de convergência de uma série de potências é o conjunto de valores de
para os quais a série converge. Esse intervalo é geralmente centrado em
e tem um raio de convergência
, formando o intervalo
.
Passo 4
Para que o intervalo de convergência seja
, precisamos que:
Resolvendo esse sistema, podemos encontrar
e
.
Passo 5
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos construir uma série de potências centrada em
com esse raio de convergência.
Passo 7
Vamos escolher uma série de potências simples, como a série geométrica:
Sabemos que essa série converge quando
.
Passo 8
Para ajustar o raio de convergência da nossa série para
, vamos escalar a série geométrica:
Essa série terá raio de convergência
, garantindo que o intervalo de convergência seja
.
Resposta
A série de potências desejada é: