Suponha que determinada quantia S0 está investida a uma taxa anual de retorno r, capitalizada continuamente. Encontre o tempo T necessário para que o capital inicial dobre o seu valor.

Passo 1

Então, a gente tem uma quantia inicial, que é o S0, investida com uma taxa de retorno anual r, e essa capitalização é feita de forma contínua. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo, representado por T, vai levar pra esse valor inicial dobrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o montante em juros compostos com capitalização contínua. Ela é dada por:
Aqui, S(t) é o valor do investimento após o tempo t, e é a base do logaritmo natural, e é o produto da taxa de juros pela quantidade de tempo.

Passo 3

Queremos que o montante dobre, ou seja, que . Vamos substituir isso na fórmula:

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo os dois lados por S0:

Passo 5

Para resolver para T, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Passo 6

Agora, é só isolar T dividindo ambos os lados por r:

Resposta

O tempo necessário para dobrar o capital inicial é:

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