Suponha que determinada quantia
está investida a uma taxa anual de retorno
, capitalizada continuamente. Encontre o tempo
necessário para que o capital inicial dobre o seu valor.
Passo 1
Então, a gente tem uma quantia inicial, que é o
, investida com uma taxa de retorno anual
, e essa capitalização é feita de forma contínua. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo, representado por
, vai levar pra esse valor inicial dobrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o montante em juros compostos com capitalização contínua. Ela é dada por:
Aqui,
é o valor do investimento após o tempo
,
é a base do logaritmo natural, e
é o produto da taxa de juros pela quantidade de tempo.
Passo 3
Queremos que o montante dobre, ou seja, que
. Vamos substituir isso na fórmula:
Passo 4
Podemos simplificar a equação dividindo os dois lados por
:
Passo 5
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Passo 6
Agora, é só isolar
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
O tempo necessário para dobrar o capital inicial é: