Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Vamos analisar a série . O conteúdo que estamos abordando aqui é o de séries infinitas, especificamente séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar do critério da convergência de séries alternadas, que diz que uma série desse tipo convergirá se dois critérios forem atendidos: os termos devem decrescer em módulo e o limite dos termos deve ser zero.

Passo 2

A série que temos é alternada porque envolve o fator . Vamos então analisar os termos da série, que são dados pela função . Primeira coisa a fazer é verificar se é uma sequência decrescente. Para isso, precisamos verificar se para todo .
Calculando:
Queremos ver se . Se multiplicarmos por , que é positivo, obtemos:
Isso é verdade, já que se , a raiz quadrada de um número maior é sempre maior. Portanto, a sequência é decrescente.

Passo 3

Agora vamos calcular o limite dos termos quando tende ao infinito:
À medida que aumenta, também aumenta, fazendo com que tenda a zero:

Resposta

Como a sequência é decrescente e o limite dos termos é zero, podemos concluir que a série é convergente.

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