Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Vamos analisar a série
. O conteúdo que estamos abordando aqui é o de séries infinitas, especificamente séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar do critério da convergência de séries alternadas, que diz que uma série desse tipo convergirá se dois critérios forem atendidos: os termos devem decrescer em módulo e o limite dos termos deve ser zero.
Passo 2
A série que temos é alternada porque envolve o fator
. Vamos então analisar os termos da série, que são dados pela função
. Primeira coisa a fazer é verificar se
é uma sequência decrescente. Para isso, precisamos verificar se
para todo
.
Calculando:
Queremos ver se
. Se multiplicarmos por
, que é positivo, obtemos:
Isso é verdade, já que se
, a raiz quadrada de um número maior é sempre maior. Portanto, a sequência
é decrescente.
Passo 3
Agora vamos calcular o limite dos termos quando
tende ao infinito:
À medida que
aumenta,
também aumenta, fazendo com que
tenda a zero:
Resposta
Como a sequência
é decrescente e o limite dos termos é zero, podemos concluir que a série
é convergente.
Exercícios relacionados
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Determine a capacitancia de um capacitor de placas paralelas para eada simay Ala indisada ahaian:
Je energia armazenada. quando a tensäho entre as placas e de 4 volta.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.