Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=1^infty (-1)^n-1raizn

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^infty (-1)^n-1raizn. O conteúdo que estamos abordando aqui é o de séries infinitas, especificamente séries alternadas. Para resolver isso, vamos precisar do critério da convergência de séries alternadas, que diz que uma série desse tipo convergirá se dois critérios forem atendidos: os termos devem decrescer em módulo e o limite dos termos deve ser zero.

Passo 2

A série que temos é alternada porque envolve o fator (-1)^n-1. Vamos então analisar os termos da série, que são dados pela função an = 1raizn. Primeira coisa a fazer é verificar se an é uma sequência decrescente. Para isso, precisamos verificar se an+1 < an para todo n.
Calculando:
an+1 = 1raizn+1, an = 1raizn
Queremos ver se 1raizn+1 < 1raizn. Se multiplicarmos por raiznraizn+1, que é positivo, obtemos:
raizn < raizn+1
Isso é verdade, já que se n >= 1, a raiz quadrada de um número maior é sempre maior. Portanto, a sequência an é decrescente.

Passo 3

Agora vamos calcular o limite dos termos quando n tende ao infinito:
limn to infty an = limn to infty 1raizn
À medida que n aumenta, raizn também aumenta, fazendo com que an tenda a zero:
limn to infty 1raizn = 0

Resposta

Como a sequência an é decrescente e o limite dos termos é zero, podemos concluir que a série sumn=1^infty (-1)^n-1raizn é convergente.

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