Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . A matéria aqui é integração dupla, que é usada para calcular o volume sob uma superfície em um intervalo bidimensional. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integração em relação a . A função que vamos integrar é . Lembre-se que, ao integrar uma função da forma , onde é uma função de , usamos a regra de potência. Aqui, é tratado como uma constante durante essa integração.
Passo 3
Vamos integrar em relação a . A integral de com respeito a é:
onde é a constante de integração, que podemos ignorar já que vamos avaliar entre os limites de 0 e 1.
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração para de 0 a 1:
Passo 5
Com isso, a integral dupla agora se reduz a uma única integral em relação a integral1^2 (1 + y)^6 - y^66 , dy = 16 integral1^2 [(1 + y)^6 - y^6] , dy :
Passo 6
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
16 ( integral1^2 (1 + y)^6 , dy - integral1^2 y^6 , dy )
Passo 7
Integrando cada termo individualmente:
integral (1 + y)^6 , dy = (1 + y)^77 + C e integral y^6 , dy = y^77 + C
Passo 8
Aplicando os limites de 1 a 2:
16 ( (1 + y)^77 |1^2 - y^77 |1^2 )
= 16 ( (3)^7 - (2)^77 - 2^7 - 1^77 )
Passo 9
Calculando os valores:
3^7 = 2187, 2^7 = 128, 1^7 = 1
= 16 ( 2187 - 1287 - 128 - 17 )
= 16 ( 20597 - 1277 )
= 16 ( 19327 )
Passo 10
Simplificando:
= 193242 = 96621 = 3227 approx 46
Resposta
O valor da integral dupla é , ou aproximadamente 46.