integral1^2 integral0^1(x+y)^5 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . A matéria aqui é integração dupla, que é usada para calcular o volume sob uma superfície em um intervalo bidimensional. Para resolver, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integração em relação a . A função que vamos integrar é . Lembre-se que, ao integrar uma função da forma , onde é uma função de , usamos a regra de potência. Aqui, é tratado como uma constante durante essa integração.

Passo 3

Vamos integrar integral (x + y)^5 , dx = (x + y)^66 + C em relação a . A integral de com respeito a é:
onde é a constante de integração, que podemos ignorar já que vamos avaliar entre os limites de 0 e 1.

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração para (x + y)^66 |0^1 = (1 + y)^66 - (0 + y)^66 = (1 + y)^6 - y^66 de 0 a 1:

Passo 5

Com isso, a integral dupla agora se reduz a uma única integral em relação a integral1^2 (1 + y)^6 - y^66 , dy = 16 integral1^2 [(1 + y)^6 - y^6] , dy :

Passo 6

Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
16 ( integral1^2 (1 + y)^6 , dy - integral1^2 y^6 , dy )

Passo 7

Integrando cada termo individualmente:
integral (1 + y)^6 , dy = (1 + y)^77 + C e integral y^6 , dy = y^77 + C

Passo 8

Aplicando os limites de 1 a 2:
16 ( (1 + y)^77 |1^2 - y^77 |1^2 )
= 16 ( (3)^7 - (2)^77 - 2^7 - 1^77 )

Passo 9

Calculando os valores:
3^7 = 2187, 2^7 = 128, 1^7 = 1
= 16 ( 2187 - 1287 - 128 - 17 )
= 16 ( 20597 - 1277 )
= 16 ( 19327 )

Passo 10

Simplificando:
= 193242 = 96621 = 3227 approx 46

Resposta

O valor da integral dupla é , ou aproximadamente 46.

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