Encontre a série de Maclaurin da função dada.
f(x) = arctan(2 * x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função dada, que é . A série de Maclaurin é tipo uma expansão em série da função ao redor de . Para isso, vamos precisar saber como expandir a função arco-tangente ( ) em série e adaptar para a nossa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin da função . Sabemos que:
Essa série é válida para . Agora, na nossa função , podemos identificar que . Ou seja, vamos substituir por na série da .

Passo 3

Fazendo a substituição, temos:
Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, elevamos à potência :
Então, nossa série fica:

Resposta

A série de Maclaurin da função é:

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