Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
4. sumn=0^infty (-1)^2 x^nn+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty (-1)^2 x^nn+1
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, que nos ajuda a entender para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observe que sumn=0^infty x^nn+1 , então a série fica:
Agora, a série é mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Raiz. Esse teste nos diz que o raio de convergência R = 1limsupn to infty raiz[n]|an| é dado por:
onde são os coeficientes da série, no nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular o limite superior:
limsupn to infty raiz[n]1n+1 = limn to infty ( 1n+1 )^1/n
Sabemos que:
limn to infty ( 1n+1 )^1/n = 1
Porque qualquer número positivo elevado a tende a 1 quando cresce infinitamente.

Passo 5

Substituindo no cálculo do raio de convergência:
R = 11 = 1
Então, o raio de convergência é 1.

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência, que são os valores de para os quais a série realmente converge. Sabemos que para , a série converge absolutamente. Mas precisamos verificar os pontos onde , ou seja, e .

Passo 7

Primeiro, para sumn=0^infty 1n+1 :
A série fica:
Essa é a série harmônica, que sabemos que não converge.

Passo 8

Agora, para sumn=0^infty (-1)^nn+1 :
A série fica:
Essa é uma série alternada. Usando o Teste da Alternância, verificamos que os termos tendem a 0 e são decrescentes, então a série converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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