Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
4.
4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, que nos ajuda a entender para quais valores de
a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observe que
, então a série fica:
Agora, a série é mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Raiz. Esse teste nos diz que o raio de convergência
é dado por:
onde
são os coeficientes da série, no nosso caso,
.
Passo 4
Vamos calcular o limite superior:
Sabemos que:
Porque qualquer número positivo elevado a
tende a 1 quando
cresce infinitamente.
Passo 5
Substituindo no cálculo do raio de convergência:
Então, o raio de convergência é 1.
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência, que são os valores de
para os quais a série realmente converge. Sabemos que para
, a série converge absolutamente. Mas precisamos verificar os pontos onde
, ou seja,
e
.
Passo 7
Primeiro, para
:
A série fica:
Essa é a série harmônica, que sabemos que não converge.
Passo 8
Agora, para
:
A série fica:
Essa é uma série alternada. Usando o Teste da Alternância, verificamos que os termos
tendem a 0 e são decrescentes, então a série converge.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
Exercícios relacionados
Utilize a Regra da Cadeia para determinar
:
;
Use a derivação implícita para determinar
e
:
Suponha que a série de potências
satisfaça
para todo
. Mostre que, se
existir, entāo ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
A função
definida por
é chamada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir George Airy (1801-1892).
(a) Encontre o domínio da funçāo de Airy.
(a) Encontre o domínio da funçāo de Airy.