Suponha que a série de potências satisfaça para todo . Mostre que, se existir, entāo ele será igual ao raio de convergência da série de potências.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que, em uma série de potências da forma onde todos os coeficientes são diferentes de zero, se o limite existir, então esse limite será igual ao raio de convergência da série.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de potências, o que significa o raio de convergência e como usar o teste da razão para determinar esse raio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de potências. Ela é uma soma infinita da forma , onde é o centro da série e são os coeficientes. No nosso caso, o expoente é , mas a ideia é a mesma.
O raio de convergência é o valor tal que a série converge para todos os que estão a uma distância menor que de , ou seja, quando .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o teste da razão, que é uma ferramenta que usamos para determinar se uma série converge ou não. Ele funciona assim: calculamos o limite . Se esse limite existir e for igual a , então o raio de convergência é igual a .

Passo 4

No enunciado, já temos que o limite existe. Então, de acordo com o teste da razão, esse limite será o próprio raio de convergência da série.

Passo 5

Portanto, já que o limite existe e segue as condições do teste da razão, concluímos que esse limite é igual ao raio de convergência da série de potências.

Resposta

Assim, mostramos que é igual ao raio de convergência da série de potências.

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