Suponha que a série de potências satisfaça para todo . Mostre que, se existir, entāo ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que, em uma série de potências da forma onde todos os coeficientes são diferentes de zero, se o limite existir, então esse limite será igual ao raio de convergência da série.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de potências, o que significa o raio de convergência e como usar o teste da razão para determinar esse raio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de potências. Ela é uma soma infinita da forma sum cn(x-a)^n, onde a é o centro da série e cn são os coeficientes. No nosso caso, o expoente é 2, mas a ideia é a mesma.
O raio de convergência é o valor R tal que a série converge para todos os x que estão a uma distância menor que R de a, ou seja, quando |x - a| < R.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o teste da razão, que é uma ferramenta que usamos para determinar se uma série converge ou não. Ele funciona assim: calculamos o limite limn to infty | cncn+1 |. Se esse limite existir e for igual a L, então o raio de convergência R é igual a L.
Passo 4
No enunciado, já temos que o limite limn to infty | cncn+1 | existe. Então, de acordo com o teste da razão, esse limite será o próprio raio de convergência da série.
Passo 5
Portanto, já que o limite existe e segue as condições do teste da razão, concluímos que esse limite é igual ao raio de convergência R da série de potências.
Resposta
Assim, mostramos que lim n infty|cncn+1| é igual ao raio de convergência da série de potências.