Suponha que
para todo
. Se
é uma função ímpar, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre uma função definida por uma série infinita, ou seja, uma soma de termos que vai do
até o infinito. A função é dada por:
E a condição é que essa função
seja ímpar. Queremos mostrar que os coeficientes das potências pares de
são zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções ímpares e propriedades das séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser ímpar. Uma função
é ímpar se, para todo
, ela satisfaz:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo
na função, temos:
Simplificando, isso fica:
Passo 4
De acordo com a propriedade da função ímpar, sabemos que:
Portanto, podemos igualar as duas express��es:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a comparação dos termos:
Isso nos dá:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero. Ou seja:
Passo 7
Vamos analisar a expressão
:
- Se
for par, , então . - Se
for ímpar, , então .
Passo 8
Substituindo de volta na equação dos coeficientes:
- Para
par:
- Para
ímpar:
Passo 9
Portanto, todos os coeficientes
correspondentes a potências pares de
são iguais a zero. Além disso, se considerarmos
, que corresponde à constante da função (geralmente incluída quando
), ele também deve ser zero para manter a função ímpar.
Resposta
Os coeficientes
são todos iguais a zero.
Exercícios relacionados
Seja
e
. Escreva a composição
como uma função de
e derive. Verifique se o resultado coincide com a parte (b).
O gráfico da função
corta o eixo
no ponto de abscissa -7 e o eixo
no ponto de ordenada 8 . Calcule
e
.
Uma reta passa pelo ponto
e seu coeficiente linear é o dobro de seu coeficiente angular. Qual é a equação dessa reta?