Suponha que f(x)=sumn=1^infty cn x^n para todo x. Se f é uma função ímpar, mostre que c0=c2=c4+c6=cdots=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre uma função definida por uma série infinita, ou seja, uma soma de termos que vai do f(x) = sumn=1^infty cn x^n até o infinito. A função é dada por:
c0 = c2 = c4 = c6 = cdots = 0
E a condição é que essa função seja ímpar. Queremos mostrar que os coeficientes das potências pares de são zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções ímpares e propriedades das séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser ímpar. Uma função f(-x) = -f(x) é ímpar se, para todo , ela satisfaz:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função f(-x) = sumn=1^infty cn (-x)^n . Substituindo f(-x) = sumn=1^infty cn (-1)^n x^n na função, temos:
Simplificando, isso fica:

Passo 4

De acordo com a propriedade da função ímpar, sabemos que:
f(-x) = -f(x)
Portanto, podemos igualar as duas express��es:
sumn=1^infty cn (-1)^n x^n = -sumn=1^infty cn x^n

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a comparação dos termos:
sumn=1^infty cn (-1)^n x^n + sumn=1^infty cn x^n = 0
Isso nos dá:
sumn=1^infty cn [(-1)^n + 1] x^n = 0

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo cn [(-1)^n + 1] = 0 para todo n >= 1 , os coeficientes de cada potência de devem ser zero. Ou seja:

Passo 7

Vamos analisar a expressão :
  • Se for par, , então .
  • Se for ímpar, , então .

Passo 8

Substituindo de volta na equação dos coeficientes:
  • Para cn cdot 2 = 0 implies cn = 0 par:
cn cdot 0 = 0 implies cn pode ser qualquer valor
  • Para ímpar:

Passo 9

Portanto, todos os coeficientes correspondentes a potências pares de são iguais a zero. Além disso, se considerarmos , que corresponde à constante da função (geralmente incluída quando ), ele também deve ser zero para manter a função ímpar.

Resposta

Os coeficientes são todos iguais a zero.

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