Suponha que para todo . Se é uma função ímpar, mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre uma função definida por uma série infinita, ou seja, uma soma de termos que vai do até o infinito. A função é dada por:
E a condição é que essa função seja ímpar. Queremos mostrar que os coeficientes das potências pares de são zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções ímpares e propriedades das séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser ímpar. Uma função é ímpar se, para todo , ela satisfaz:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na função, temos:
Simplificando, isso fica:

Passo 4

De acordo com a propriedade da função ímpar, sabemos que:
Portanto, podemos igualar as duas express��es:

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a comparação dos termos:
Isso nos dá:

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero. Ou seja:

Passo 7

Vamos analisar a expressão :
  • Se for par, , então .
  • Se for ímpar, , então .

Passo 8

Substituindo de volta na equação dos coeficientes:
  • Para par:
  • Para ímpar:

Passo 9

Portanto, todos os coeficientes correspondentes a potências pares de são iguais a zero. Além disso, se considerarmos , que corresponde à constante da função (geralmente incluída quando ), ele também deve ser zero para manter a função ímpar.

Resposta

Os coeficientes são todos iguais a zero.

Exercícios relacionados

Seja e . Escreva a composição como uma função de e derive. Verifique se o resultado coincide com a parte (b).
O gráfico da função corta o eixo no ponto de abscissa -7 e o eixo no ponto de ordenada 8 . Calcule e .
Uma reta passa pelo ponto e seu coeficiente linear é o dobro de seu coeficiente angular. Qual é a equação dessa reta?